Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
38
Геометрический смысл (см. рис. 6)доказанной теоремы состоит в том, что
через любую точку
v
, не принадлежащую выпуклому множеству
n
RU Ì , можно
провести гиперплоскость
(
)
(
)
с v
G
так, что множество
U
будет целиком
располагаться в одном из полупространств, отвечающих этой гиперплоскости.
Очевидно, что когда точка
v
принадлежит границе множества
U
, вектор
(
)
с v
является опорным вектором к множеству
U
в точке
v
, гиперплоскость
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
,,
n
G=Î=
- опорной гиперплоскостью, а
полупространство
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
,,
n
с vuR сvu сvv
P=γ
– опорным
полупространством к множеству
U
в направлении вектора
(
)
с v
. В случае
компактности множества U любой вектор 0
¹
c может служить опорным к
множеству U в некоторой точке
(
)
Ucv Î . Эта точка определяется из условия
(
)
vccvc
Uv
,min,
Î
= .
Совокупность всех точек
(
)
cv образует множество
(
)
,
VcU
- опорное к
множеству U в направлении вектора
c
. Очевидно, что
(
)
(
)
,
VcUUc
=G
I
.
1.15. Отделимость выпуклых множеств. Результаты предыдущего пункта
допускают обобщение на случай, когда вместо точки берется выпуклое
множество.
Определение 27. Будем говорить, что множества
n
RBA Ì, отделимы,
если
для некоторого вектора 0, ¹Î cRc
n
справедливо неравенство
acbс
Aa
Bb
,inf,sup
Î
Î
£ , (1)
строго отделимы, если
BbAaacbc ÎÎ"< ,,,, ,
и сильно отделимы, если знак неравенства в (1) строгий. 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


       Геометрический смысл (см. рис. 6)доказанной теоремы состоит в том, что
через любую точку v , не принадлежащую выпуклому множеству U Ì R n , можно
провести гиперплоскость G (с (v )) так, что множество U                                       будет целиком

располагаться в одном из полупространств, отвечающих этой гиперплоскости.
Очевидно, что когда точка v принадлежит границе множества U , вектор с (v )

является опорным вектором к множеству U                                    в точке v , гиперплоскость
G (с (v )) = {u Î R n   с (v ) , u = с (v ) , v   }    -          опорной               гиперплоскостью,    а

полупространство               P (с (v )) = {u Î R n          с (v ) , u ³ с (v ) , v   }     –     опорным

полупространством к множеству U в направлении вектора с (v ) . В случае

компактности множества U любой вектор c ¹ 0 может служить опорным к
множеству U в некоторой точке v(c ) Î ¶U . Эта точка определяется из условия

                                             c, v(c ) = min c, v .
                                                           vÎU



       Совокупность всех точек v (c ) образует множество V (c,U ) - опорное к

множеству U в направлении вектора c . Очевидно, что V (c,U ) = U I G ( c) .

       1.15. Отделимость выпуклых множеств. Результаты предыдущего пункта
допускают обобщение на случай, когда вместо точки берется выпуклое
множество.

       Определение 27. Будем говорить, что множества A, B Ì R n отделимы,
если

       для некоторого вектора c Î R n , c ¹ 0 справедливо неравенство

                                          sup с, b £ inf c, a ,                                            (1)
                                          bÎB          aÎ A



       строго отделимы, если

                                        c, b < c, a , "a Î A, b Î B ,

       и сильно отделимы, если знак неравенства в (1) строгий.



                                                       38

Страницы