Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
39
Геометрический смысл отделимости множеств состоит в существовании
гиперплоскости
(
)
1
,0,,, RcRcc
n
ιÎG
gg
, для которой множества
A
и
B
находятся в
разных по отношению к ней полупространствах. Такую гиперплоскость называют
отделяющей (строго, сильно).
A
B
C
A
B
C
B
C
Рис. 9
На рис. 9 слева множества
A
и
B
отделены, в центре – строго отделены и
справа – сильно отделены плоскостью с нормальным вектором
c
.
В теореме 23 утверждается, что любая точка, не принадлежащая
выпуклому множеству, отделима от его замыкания, и если при этом точка не
принадлежит замыканию множества, то отделение сильное.
Теорема 24. Пусть
n
RBA Ì, - непустые выпуклые множества и
Æ
=
BA
I
.
Тогда существует гиперплоскость
(
)
0,, ¹G cc
g
, отделяющая множества
A
и
B
, причем, если ƹBA
I
и BAv
I
Î , то vc,=
g
.
Доказательство. Рассмотрим множество
{
}
BbAabauBAU ÎÎ-==-= , .
Множество
U
выпукло. Поскольку
Æ
=
BA
I
, то U
Ï
0 . Тогда по теореме 23
существует вектор 0
¹
c , что ,,00,
³="Î
. Отсюда выводим
BbAabcaс ÎÎ"³ ,,,, . (2) 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


     Геометрический смысл отделимости множеств состоит в существовании
гиперплоскости G (c, g ), c Î R n , c ¹ 0, g Î R 1 , для которой множества A и B находятся в
разных по отношению к ней полупространствах. Такую гиперплоскость называют
отделяющей (строго, сильно).

                                                                            C
                                                        A
             A                C

                                                    C                           B
                       B

                                                         B



                                                    Рис. 9

     На рис. 9 слева множества A и B отделены, в центре – строго отделены и
справа – сильно отделены плоскостью с нормальным вектором c .

     В теореме 23 утверждается, что любая точка, не принадлежащая
выпуклому множеству, отделима от его замыкания, и если при этом точка не
принадлежит замыканию множества, то отделение сильное.

     Теорема 24. Пусть A, B Ì R n - непустые выпуклые множества и A I B = Æ .
Тогда существует гиперплоскость G (c, g ), c ¹ 0 , отделяющая множества A и
B , причем, если A I B ¹ Æ и v Î A I B , то g = c, v .

     Доказательство. Рассмотрим множество

                            U = A - B = {u = a - b a Î A, b Î B }.

      Множество U выпукло. Поскольку A I B = Æ , то 0 ÏU . Тогда по теореме 23
существует вектор c ¹ 0 , что c, u ³ c, 0 = 0, " u Î U . Отсюда выводим

                              с, a ³ c, b , " a Î A, b Î B .                            (2)



                                               39

Страницы