Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
41
Строгая отделимость множеств
A
и
B
доказана. Пусть оба множества
A
и
B
компактны. Тогда найдутся точки Aa Î
*
и Bb Î
*
, удовлетворяющие
условию
bcbcacac
BbAa
,max,,,min,
Î
*
Î
*
==
.
Отсюда и из неравенства (4) выводим, что
bcbcbcacacac
Bb
Bb
AaAa
,sup,max,,,min,inf
Î
Î
**
ÎÎ
==>== .
Теорема доказана.
1.16. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых
множеств. Всякое выпуклое множество полностью определяется своими
опорными полупространствами. Именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 26. Выпуклое компактное множество U совпадает с пересечением
всех своих опорных полупространств.
Доказательство. Требуется доказать
(
)
0
n
cR
c
U
с
Î
¹
=P
I
. Вложение
(
)
0
n
cR
c
U
с
Î
¹
I
очевидно. Пусть существует точка
(
)
0
n
cR
c
w
с
Î
¹
ÎP
I
такая, что UUw =Ï . Тогда,
полагая в условиях теоремы 25
{
}
,
AwBU
==
, приходим к существованию
вектора
ˆˆ
,0
n
cRc
ι
, удовлетворяющего условию
00
ˆˆˆ
,max,,,
uU
cwcucuuU
Î
>=Î
.
Последнее неравенство противоречит включению
(
)
{
}
0
ˆˆˆ
,,
n
wcuRcucu
ÎP=Σ.
Теорема доказана.
Приведем критерий непустоты пересечения выпуклых компактов в
n
R
.
Теорема 27. Для любых выпуклых компактов
n
RBA Ì, условие
Æ
¹
BA
I
имеет место тогда и только тогда, когда выполнено неравенство 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


     Строгая отделимость множеств A и B доказана. Пусть оба множества
A и B компактны. Тогда найдутся точки a * Î A и b * Î B , удовлетворяющие

условию

                       c , a * = min c , a ,        c , b * = max c , b .
                                 aÎ A                              bÎ B



     Отсюда и из неравенства (4) выводим, что

                inf c, a = min c, a = c, a* > c, b* = max c, b = sup c, b .
                aÎA       aÎA                                bÎB               bÎB



     Теорема доказана.

     1.16. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых
множеств. Всякое выпуклое множество полностью определяется своими
опорными полупространствами. Именно, справедлива следующая теорема.

     Теорема 26. Выпуклое компактное множество U совпадает с пересечением
всех своих опорных полупространств.

     Доказательство. Требуется доказать U =                    I P (с) .       Вложение U Ì   I P (с)
                                                               cÎR n                          cÎR n
                                                               c ¹0                           c ¹0


очевидно. Пусть существует точка w Î                I P (с )
                                                    cÎ R n
                                                                   такая, что w Ï U = U . Тогда,
                                                    c ¹0


полагая в условиях теоремы 25 A = {w} , B = U , приходим к существованию
вектора cˆ Î R n , cˆ ¹ 0 , удовлетворяющего условию

                           cˆ, w > max cˆ, u = cˆ, u0 , u0 Î U .
                                    uÎU



     Последнее неравенство противоречит включению

                            w Î P ( cˆ) = {u Î R n cˆ, u £ cˆ, u0         }.
     Теорема доказана.

     Приведем критерий непустоты пересечения выпуклых компактов в R n .

     Теорема 27. Для любых выпуклых компактов A, B Ì R n условие A I B ¹ Æ
имеет место тогда и только тогда, когда выполнено неравенство


                                               41

Страницы