Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 43 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


     Предположим,       что     dÏX .         Множество                 X    выпукло     и    замкнуто
(замкнутость множества X является следствием непрерывности линейных
функций). Тогда по теореме 25 существует вектор с Î R n , c ¹ 0 такой, что

                                   c, x < c, d , "x Î X .                                              (2)

     Очевидно, что a x Î X при всех x Î X и a ³ 0 . Из неравенства (2) получаем,
что a c, x < c, d , "a ³ 0, "x Î X , а значит                c, x £ 0, "x Î X . Тогда

          с, x = c, B*T v* - B**T v** + B T v = c, B*T v* - c, B**T v** + c, B T v =

                       = B* c, v* - B** c, v** + Bc, v £ 0 "v Î V% .


     Запишем последнее неравенство для векторов x(i) Î X , порожденных
векторами v(i) Î V%, i = 1, 2,3 следующего вида:

                                    æv* ö÷          æ 0 ö÷        æ 0ö÷
                                    çç ÷            çç ÷          çç ÷
                                            ÷
                              v = ççç 0 ÷÷ , v = ççv ÷÷÷ , v = çç 0 ÷÷÷ .
                               (1)            (   )      **   ( )
                                                2              3

                                     çç ÷÷÷          çç ÷÷         çç ÷÷
                                      çè 0 ÷ø         èç 0 ø÷       èçv ø÷

      В результате получим

                          B*c, v * £ 0, B ** c, v ** £ 0, Bc, v £ 0 .

      В    силу     произвольности              v* Î R m , v* ³ 0, v** Î R k -m , v** ³ 0, v Î R s-k   из
последних неравенств следует

                                   B*c £ 0, B** c ³ 0, Bc = 0 ,                                        (3)

     то есть c Î K . Для c Î K должно выполняться неравенство

                                             d, c £ 0 .

     Однако это невозможно, так как из неравенства (2) и включения 0 Î X
следует

                                              c, d > 0 .                                               (4)

     Полученное противоречие доказывает необходимость.


                                                  43