Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 45 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


                æ0       ö÷
       б) A = ççç 2
                        2
                       2
                           ÷÷,
                çè 2   0 ø÷÷

                 æ sin j cos j ö÷
       в) A3 = ççç                 ÷
                 çè- cos j sin j ø÷÷

       7. Для всех U ,V Ì R n доказать равенство
                                           co (U + V ) = coU + coV .

       8. Найти опорные функции следующих множеств:
                                ìï    æ u1 ö÷                          üï
                                 ïï    ç ÷                              ïï
                                      ç
       а) n - мерного куба U = ïíu = çççL÷÷÷÷ Î R n ui £ 1, i = 1,L, nïý ,
                                  ïï   çç n ÷÷                           ïï
                                   ï    èu ø÷                             ï
                                   îï                                     þï
                      ì
                      ï      æ u1 ö÷ æ u1 ö2 æ u 2 ö2   ïü
       б) эллипса U = íu = ççç 2 ÷÷ çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ = 1ïý .
                      ï
                      ï
                      ï
                      ï
                      î    èu ø÷ çè a ÷ø çè b ÷ø       ïï
                                                         ïþ
       9. Пусть функция I выпуклая на выпуклом множестве U Ì R n . Будет ли
выпуклой функция I на том же множестве U ?

       10. Привести пример невыпуклой функции, являющейся произведением
двух выпуклых функций.
       11. При каких p, q Î R1 функция I : R 2 ® R1 , определенная равенством
                                                         ìïæ u1 ö                        üï
I (u ) = (u1 ) (u 2 ) , будет выпуклой на множестве U = ïíçç 2 ÷÷÷ Î R 2 u1 ³ 0, u 2 ³ 0ïý .
              p      q

                                                          ïççèu ÷ø                        ï
                                                          îï                              þï
       12. Доказать, что выпуклая функция, не равная постоянной, может
достигать своего максимума на выпуклом множестве лишь на граничных
точках этого множества.
                                      æ v1 ö÷
                                      çç ÷
       13. Найти проекцию точки v = çççL÷÷÷÷ на множество
                                       ç n ÷÷
                                       çèv ÷ø

                                    ì
                                    ï      æ u1 ö÷                            ïüï
                                    ï
                                    ï      çç ÷                                 ï
                                                 ÷
                                 U =ï
                                    íu = çççL÷÷÷ Î R ai £ u £ bi , i = 1,L, nïý .
                                                    n      i
                                    ï
                                    ï       ç n ÷÷                              ïï
                                    ï       çèu ÷ø                               ï
                                    ï
                                    î                                            þï




                                                     45