Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 44 стр.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


    Достаточность. Пусть

                                                          æ v * ö÷
                                                          çç ÷
                                                                   ÷
                               d = B v - B v + B v , v = çç v** ÷÷ Î V% .
                                    *T *  **T ** T
                                                           çç ÷÷
                                                            çè v ÷÷ø


    Тогда для любого e Î K будет

           d , e = B*T v * - B **T v ** + B T v , e = B*T v * , e - B **T v ** , e + B T v , e =


                                 = v* , B* e - v** , B** e + v , Be £ 0 .

    Теорема доказана полностью.

                      Упражнения для самостоятельной работы

     1. Доказать, что для всех u, v, w Î R n справедливо неравенство
       r ( u, v ) =   u - v, u - v £      u - w, u - w +       w - v, w - v = r (u, w) + r ( w, v ) .

     2. Доказать, что ¶U = U \ int U .

     3. Для любых множеств U1,U 2 ,W1 ,W2 Ì R n , таких, что U1 Ì U 2 , W1 Ì W2 и чисел
a, b Î R1 доказать справедливость вложения

                                        aU1 + bW1 Ì aU 2 + bW2 .

     4. Найти расстояние Хаусдорфа h (U ,W ) между множествами
                           ìï    æ u1 ö                        üï
                      U = ïíu = çç 2 ÷÷÷ Î R 2 u1 £ 1, u 2 £ 1ïý и W = O (0, r ) Ì R 2 ,
                            ïï   çèu ÷ø                         ïï
                             î                                   þ
    определить при каком значении r > 0 оно минимально.
     5. Доказать, что компактное множество W Ì R n , обладающее следующим
свойством: для всех u, v Î W справедливо включение                               1
                                                                                 2   (u + v ) Î W , является
выпуклым множеством.
                                  ïìï   æ u1 ö÷                      ïü
     6. Найти образ множества U = íu = çç 2 ÷÷ Î R 2 u1 £ 1, u 2 £ 1ïý при линейных
                                    ï   çèu ÷ø                        ïï
                                    îï                                 þ
преобразованиях следующего вида:
              æ a 0ö÷
     а) A = çç        ÷,
             çè 0 b ø÷÷

                                                     44