Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА
40
Пусть теперь BbAa ÎÎ , . Найдутся последовательности
{
}
{
}
,,,
kkk
aabbaA
®®Î
L
,2,1, =Î kBb
k
В силу неравенства (2) будет
выполняться
L
,2,1,,, =³ kbcac
kk
. Переходя в последнем неравенстве к
пределу при
¥
®
k , получим
BbAabcaс ÎÎ"³ ,,,, , (3)
что и означает выполнение неравенства (1).
Пусть, наконец, ƹΠBAv
I
. Тогда, с одной стороны, из AvÎ и (3)
вытекает, что Bbvcbc Î"£ ,,, , а с другой - из Bv Î и снова (3) следует
³aс, ,, vc³ Aa Î" . Таким образом, vc,=
g
. Теорема доказана.
Теорема 25. Пусть
n
RBA Ì,
- непустые выпуклые замкнутые множества
одно из которых ограничено и
=
BA
I
. Тогда множества
A
и
B
строго
отделимы. Если в условиях теоремы оба множества ограничены, то
отделимость будет сильной.
Доказательство. В условиях доказываемой теоремы множество BAU
-
=
замкнуто. Действительно, пусть для определенности множество
A
ограничено и
u
– предельная точка множества
U
. Найдется
последовательность
{
}
uu
k
® ,
L
,2,1,,, =ÎÎ-= kBbAabau
kkkkk
. В силу
ограниченности множества
A
из последовательности
{
}
k
a можно извлечь
сходящуюся подпоследовательность
{
}
Aaa
j
k
ή
. Тогда в равенстве
jjj
kkk
aub -= в результате предельного перехода при ¥®
j
k получим, что
aub
-
=
, где Bb
Î
в силу замкнутости множества
B
. Таким образом, для
предельной точки множества
U
получено представление BbAabau
Î
Î
-
=
,, ,
что и означает замкнутость множества
U
.
Из условия
Æ
=
BA
I
следует, что UU =Ï0 . Тогда по теореме 2 найдется
вектор 0
¹
c , для которого будет справедливо неравенство
BbAabcaсcbaс ÎÎ">Þ³- ,,,,,
2
. (4) 
1. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА


        Пусть               теперь          a Î A, b Î B .           Найдутся              последовательности
{ak } ® a, {bk } ® b, ak Î A,             bk Î B, k = 1,2, L В         силу      неравенства              (2)   будет
выполняться                 c, a k ³ c, bk , k = 1,2, L . Переходя в последнем неравенстве к

пределу при k ® ¥ , получим

                                         с, a ³ c, b , " a Î A , b Î B ,                                          (3)

        что и означает выполнение неравенства (1).

        Пусть, наконец, v Î A I B ¹ Æ . Тогда, с одной стороны, из v Î A и (3)
вытекает, что c, b £ c, v , "b Î B , а с другой - из v Î B и снова (3) следует

 с, a ³ ³ c, v , "a Î A . Таким образом, g = c, v . Теорема доказана.

        Теорема 25. Пусть A, B Ì R n - непустые выпуклые замкнутые множества
одно из которых ограничено и A I B = Æ . Тогда множества A и B строго
отделимы. Если в условиях теоремы оба множества ограничены, то
отделимость будет сильной.

        Доказательство. В условиях доказываемой теоремы множество U = A - B
замкнуто.              Действительно,           пусть          для     определенности            множество         A

ограничено              и     u   –      предельная             точка        множества            U.       Найдется
последовательность                    {u k } ® u ,        u k = a k - bk , a k Î A, bk Î B, k = 1,2,L .     В    силу
ограниченности множества A из последовательности {a k } можно извлечь

сходящуюся              подпоследовательность                      {a }® a Î A .
                                                                     k j                Тогда       в      равенстве

bk j = u k j - a k j   в результате предельного перехода при k j ® ¥ получим, что

b = u - a , где b Î B в силу замкнутости множества B . Таким образом, для

предельной точки множества U получено представление u = a - b, a Î A, b Î B ,
что и означает замкнутость множества U .

        Из условия A I B = Æ следует, что 0 ÏU = U . Тогда по теореме 2 найдется
вектор c ¹ 0 , для которого будет справедливо неравенство
                                                     2
                                   с, a - b ³ c          Þ с,a > c, b , "a Î A, b Î B .                           (4)


                                                              40

Страницы