Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 3
Глава I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
§1. Площадь плоской фигуры
Вначале в строгом изложении рассмотрим
задачу об определении площади криволинейной
трапеции ABCD (рис.1). Эта фигура ограничена
сверху кривой DC, являющейся графиком функ-
ции
)(
xfy
=
, где
f(x)
- положительная и непре-
рывная на отрезке [
a,b
] функция, снизу – отрез-
ком AB оси O
x
, а с боков –двумя ординатами AD
и BC (каждая из которых может свестись к точке).
Разобьем отрезок [
a,b
] на n частей точками:
a
=
nii
xxxxxx <<<<<<<
+
......
1210
=
b
.
Обозначим через
m
i
и
M
i
соответственно наименьшее и наибольшее значения
функции
)(
xf
на i-м отрезке [
x
i
,x
i+1
] (i=0,1,…,n-1) и составим суммы Дарбу
∑
−
=
∆=
1
0
n
i
ii
xms
,
∑
−
=
∆=
1
0
n
i
ii
xMS
.
Они представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных соответст-
венно из входящих и выходящих прямоугольников (см. рис. 1). Поэтому
s<P<S
.
Но при стремлении к нулю }{max
i
i
x∆=
θ
λ
обе суммы имеют своим пределом ин-
теграл
∫
b
a
dxxf
)(, следовательно, искомая площадь равна
∫
=
b
a
dxxfP
)(
.(1)
Если криволинейная трапеция CDEF
ограничена и снизу, и сверху графиками функ-
ции (рис.2), уравнения которых )(
11
xfy =
и
)(
22
xfy =
(
bxa
≤≤
), то, рассматривая ее как
разность двух фигур ABEF и ABCD, выразим
площадь названной трапеции в виде:
()
∫
−=
b
a
dxxfxfP
)()(
12
.(2)
Пусть теперь дан сектор AOB (рис.3),
ограниченный кривой AB, заданной уравнением
)(
θρρ
=
)(
βθα
≤≤
, и двумя радиус-векторами
OA и OB (каждый из которых может свестись к
точке). Пусть
)(
θρρ
=
непрерывная функция на
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Амурский Государственный Университет                                                  3


     Глава I. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
                          ИНТЕГРАЛА
                           §1. Площадь плоской фигуры

                                             Вначале в строгом изложении рассмотрим
                                      задачу об определении площади криволинейной
                                      трапеции ABCD (рис.1). Эта фигура ограничена
                                      сверху кривой DC, являющейся графиком функ-
                                      ции y = f (x) , где f(x) - положительная и непре-
                                   рывная на отрезке [a,b] функция, снизу – отрез-
                                   ком AB оси Ox, а с боков –двумя ординатами AD
              Рис. 1.              и BC (каждая из которых может свестись к точке).
         Разобьем отрезок [a,b] на n частей точками:
                      a = x 0

Страницы