Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 5
∫∫
′
+
′
=
′
+
′
=
T
t
T
t
tt
dtttdtyxL
00
2222
)]([)]([
ψϕ
.
(4)
Будем исходить из разбиения отрезка
[]
Tt
,
0
точками
Ttttttt
nii
=<<<<<<<
+
......
1210
на части длины
iii
ttt
−=∆
+
1
. Этим значениям
t
отвечают вершины ломаной
BAAA
...
21
, вписанной в дугу
AB
.
Положим
ii
xt
=
)(
ϕ
,
ii
yt
=
)(
ψ
, ),...,1,0(
ni
=
,
iii
xxx
−=∆
+
1
,
iii
yyy
−=∆
+
1
.
Длина
гоi
−
звена
1
+
ii
AA
ломаной равна
22
1
iiii
yxAA
∆+∆=
+
. Применяя теорему
Лагранжа к приращениям
i
x
∆
и
i
y
∆
, получим
()()()
iiiiii
ttttx
∆
′
=−∆+=∆
τ
ϕ
ϕ
ϕ
,
()()
(
)
iiiiii
tttty
∆
′
=−∆+=∆
*
τψψψ
,
где
i
τ
,
*
i
τ
находятся между
i
t
и
ii
tt
∆+
.
Имеем теперь
()()
()()
iiiii
tAA
∆
′
+
′
=
+
2
*
2
1
τψτϕ
,
тогда периметр всей ломаной
()()
()()
∑
−
=
∆
′
+
′
=
1
0
2
*
2
n
i
iii
tP
τψτϕ
.
Если во втором слагаемом заменить
*
i
τ
на
i
τ
, то преобразованное
выражение
()()
()()
∑
−
=
∆
′
+
′
=
1
0
2
2
n
i
iii
t
τψτϕσ
представляет собой интегральную сумму как раз для интеграла (4). При
стремлении к нулю }{max
i
i
t
∆=
θ
λ
эта сумма будет иметь своим пределом
упомянутый интеграл. Чтобы показать, что к тому же пределу стремится и
периметр
p
ломаной, достаточно обнаружить, что разность
σ
−
P
стремится к нулю. Для этого проведем оценку для этой разности
()()
()()
()()
()()
i
n
i
iiii
tP
∆
′
+
′
−
′
+
′
≤−
∑
−
=
1
0
2
*
2
2
2
τψτϕτψτϕσ
.
Элементарное неравенство
bbbaba
−≤+−+
1
222
1
2
, если его применить
к каждому слагаемому в отдельности, даст нам
()
()
∑
−
=
∆
′
−
′
≤−
1
0
*
a
i
iii
tP
τψτψσ
.
Ввиду непрерывности функции )(
t
ψ
′
, по любому
0
>
ε
найдется
0
>
δ
, что
()
()
ετψτψ
<
′
−
′
*
при
δ
<−
tt
*
. Если взять
δ
<∆
i
t
, то
δττ
<−
ii
*
, тогда
()
()
ετψτψ
<
′
−
′
ii
*
и
()
0
1
0
tTtP
n
i
i
−=∆≤−
∑
−
=
εεσ
.
Это и доказывает наше утверждение .
Если кривая задана явным уравнением )(
xfy
=
)(
bxa
≤≤
, то, принимая
x
за параметр, из формулы (4) как частный случай
получаем
∫
′
+=
b
a
dxxfL
)(1
2
.(5)
В случае полярного задания кривой
)(
θ
ρ
ρ
=
)(
βθα
≤≤
также приводим к
параметрическому с помощью обычных формул перехода
Рис. 4.
Амурский Государственный Университет                                                                             5


                          T                              T
                    L =∫ xt′ 2 + yt′ 2 dt =∫ [ϕ ′(t )]2 +[ψ ′(t )]2 dt .                                   (4)
                          t0                             t0

         Будем исходить из разбиения отрезка [t 0 , T ]точками
t 0 0 найдется δ >0 , что
ψ ′(τ* )−ψ ′(τ) <ε при t * −t <δ . Если взять ∆t i <δ , то τi* −τi <δ , тогда

   ( )
                                                n −1
ψ ′ τi −ψ ′(τi ) <ε и P −σ ≤ε∑ ∆t i =ε(T −t 0 ).
      *

                                                i =0
Это и доказывает наше утверждение .
       Если кривая задана явным уравнением y = f (x) (a ≤x ≤b) , то, принимая
x за параметр, из формулы (4) как частный случай
                                                    b
получаем                                 L =∫ 1 + f ′ 2 ( x) dx .                                          (5)
                                                    a

В случае полярного задания кривой ρ =ρ(θ ) (α ≤θ ≤β ) также приводим к
параметрическому с помощью обычных формул перехода

Страницы