Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 6
()
θθρθρ
coscos
=⋅=x
,
()
θθρθρ
sinsin
=⋅=y
,
где роль параметра играет
θ
.
Для этого случая
θρθρ
θθ
sincos
−
′
=
′
x
,
θρθρ
θθ
cossin
+
′
=
′
y
,
так что
() ()
θρθρ
θθ
2222
′
+=
′
+
′
yx
и
() ()
∫
′
+=
β
α
θθρθρ
dL
22
.(6)
§3. Выражение объема интегралом
Начнем с того, что прямой цилиндр высоты
H
, основанием которого
служит квадрируемая плоская фигура (P), имеет объем, равный произведению
площади основания на высоту:
V
=
PH
.
Возьмем многоугольники (A
n
) и (B
n
), соответственно содержащиеся в (P)
и содержащие в себе (P), так, чтобы их площади
A
n
и
B
n
стремились к
P
. Если на
этих многоугольниках построить прямые призмы (X
n
) и (Y
n
) высоты
H
, то их
объемы
X
n
=A
n
H, Y
n
=B
n
H
будут стремиться к общему пределу
V=PH
, который и
будет объемом нашего цилиндра.
Рассмотрим теперь некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями
ax =
и
bx
=
, и станем рассекать его плоскостями, перпендик улярными к оси O
х
(рис.5).
Допустим, что все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения,
отвечающего абсциссе
x
, – обозначим ее через
P(x)
– будет непрерывной
функцией от
x
(для
bxa
≤≤
).
Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо
плоскость, перпендикулярную оси О
х
, то они могут либо содержаться одно в
другом, либо частично налегать одно на другое, или лежать одно вне другого
(рис. 6).
Рис. 5.
Рис. 6.
Амурский Государственный Университет                                       6

x =ρ ⋅ cosθ =ρ(θ )cosθ , y =ρ ⋅ sin θ =ρ(θ )sin θ ,
где роль параметра играет θ.
Для этого случая     xθ′ =ρθ′ cosθ −ρ sin θ ,
                     yθ′ =ρθ′ sin θ +ρ cosθ ,
так что xθ′ 2 +yθ′ 2 =ρ 2 (θ )+ρ′ 2 (θ ) и
                                       β

                                   L =∫ ρ 2 (θ )+ρ′ 2 (θ )dθ .     (6)
                                       α


                           §3. Выражение объема интегралом

       Начнем с того, что прямой цилиндр высоты H, основанием которого
служит квадрируемая плоская фигура (P), имеет объем, равный произведению
площади основания на высоту: V=PH.
       Возьмем многоугольники (An) и (Bn), соответственно содержащиеся в (P)
и содержащие в себе (P), так, чтобы их площади An и Bn стремились к P. Если на
этих многоугольниках построить прямые призмы (Xn) и (Yn) высоты H, то их
объемы Xn=AnH, Yn=BnH будут стремиться к общему пределу V=PH, который и
будет объемом нашего цилиндра.
       Рассмотрим теперь некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями
 x =a и x =b , и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси Oх
(рис.5).




                                             Рис. 5.

        Допустим, что все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения,
отвечающего абсциссе x , – обозначим ее через P(x) – будет непрерывной
функцией от x (для a ≤x ≤b ).
        Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо
плоскость, перпендикулярную оси Ох, то они могут либо содержаться одно в
другом, либо частично налегать одно на другое, или лежать одно вне другого
(рис. 6).




                                                  Рис. 6.

Страницы