Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 7
Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи
спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси О
x
, оказываются всегда
содержащимися одно в другом.
В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объем,
который выражается формулой
()
∫
=
b
a
dxxPV
.(7)
Для доказательства разобьем отрезок
[]
ba
, на оси О
х
точками
bxxxxxa
nii
=<<<<<<≤
+
......
110
на части и разложим плоскостями
i
xx =
,
проведенными через точки деления, всё тело на слои. Рассмотрим i-й слой ,
содержащийся между плоскостями
i
xx =
и
1
+
=
i
xx
)1,...,1,0(
−= ni
. На отрезке
[]
1
,
+
ii
xx
функция
P(x)
имеет наибольшее значение
i
M
и наименьшее значение
i
m
. Если все сечения, отвечающие различным значениям
x
в этом отрезке
[]
1
,
+
ii
xx
, поместить на одну плоскость, например,
i
xx =
, то все они будут
содержаться в наибольшем, имеющем площадь
i
M
, и содержать в себе
наименьшее, с площадью
i
m
.
Если на наибольшем сечении с площадью
i
M
и наименьшем с площадью
i
m
построить прямые цилиндры с высотой
iii
xxx −=∆
+
1
, то больший из них
будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший будет
содержаться в этом слое. На основании сделанного замечания объемы этих
цилиндров будут соответственно равны
ii
xM ∆
и
ii
xm ∆
.
Из выходящих цилиндров составится тело (T), а из входящих – тело (V),
объемы которых равны соответственно
∑
−
=
∆
1
0
n
i
ii
xM
и
∑
−
=
∆
1
0
n
i
ii
xm
При
{}
i
i
x∆=
max
θ
λ
, стремящемуся к нулю, эти суммы имеют общий предел,
равный
∫
b
a
dxxP
)(, таков же будет и объем тела.
Важный частный случай, когда выполняется
предположение о взаимном расположении сечений,
представляют тела вращения. Если на плоскости
х
O
у
задана непрерывная кривая AB уравнением )(
xfy =
()
bxa ≤≤
, причем 0)(
>xf
, то, вращая трапецию
a
AB
b
вокруг оси O
х
, получим тело вращения, которое
подходит под рассматриваемый случай, так как
сечения его проектируются на перпендикулярную к
оси O
х
плоскость в виде концентрических
окружностей.
Здесь
()
2
2
)()(
xfyxP
ππ
==
, так что
∫
=
b
a
dxxfV
)(
2
π
.(8)
Если криволинейная трапеция ограничена и снизу, и сверху кривыми, заданными
уравнениями )(
11
xfy =
и )(
22
xfy =
, то
()
()()
()
∫∫
−=−=
b
a
b
a
dxxfxfdxyyV
2
1
2
2
2
2
2
1
)()(
ππ
,(9)
Рис. 7.
Амурский Государственный Университет                                                             7

      Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи
спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси О x , оказываются всегда
содержащимися одно в другом.
      В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объем,
который выражается формулой
                                                  b
                                              V =∫P(x )dx .                               (7)
                                                  a

           Для доказательства разобьем отрезок [a, b] на оси Ох точками
a ≤x0 0 , то, вращая трапецию
                              aABb вокруг оси Oх, получим тело вращения, которое
                              подходит под рассматриваемый случай, так как
                              сечения его проектируются на перпендикулярную к
                              оси Oх плоскость в виде концентрических
        Рис. 7.               окружностей.
                                                                           b
       Здесь P ( x) =πy 2 =π ( f ( x) ) , так что                    V =π ∫f 2 ( x)dx .
                                          2
                                                                                                (8)
                                                                           a
Если криволинейная трапеция ограничена и снизу, и сверху кривыми, заданными
уравнениями y1 = f1 ( x) и y 2 = f 2 ( x) , то
                              b                       b
                                                          (
                       V =π ∫(y12 −y 22 )dx =π ∫( f 2 ( x) ) −( f1 ( x) ) dx ,
                                                                     2          2
                                                                                    )           (9)
                              a                       a

Страницы