Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 9
чтобы оно разнилось от
Q∆
на бесконечно малую порядка высшего, чем
x
∆
.
Другими словами, из бесконечно малого (при
0
→∆
x
) “элемента”
Q∆
выделяют его главную часть – дифференциал.
Ясно, что относительная погрешность приближенного равенства
dQxxqQ
=∆≈∆
)(
будет стремиться к нулю вместе с
x
∆
, погрешность от такой
замены будет бесконечно малой высшего порядка, чем
x
∆
.
После этого можно утверждать, что искомая величина
Q
точно
выражается интегралом
∫
=
b
a
dxxqQ
)(. (9)
Для пояснения этого разделим отрезок
[]
ba
, точками
121
,...,,
−
n
xxx
на
элементарные отрезки ],[],...,,[],...,,[],,[
11211
bxxxxxxa
nii
−+
.
Так как каждому отрезку ],[
1
+
ii
xx
отвечает элементарная часть нашей
величины, приближенно равная
ii
xxq ∆
)( , то вся искомая величина
Q
приближенно выражается суммой
∑
−
=
∆
1
0
)(
n
i
ii
xxq
.
Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мельче частичные
промежутки, так что
Q
, очевидно, будет пределом упомянутой суммы, т.е.
действительно выразится определенным интегралом
∫
b
a
dxxq
)(
.
Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным примерам
вычисления площади, длины дуги кривой, объема тела. Таким образом, все дело
сводится к установлению равенства
dxxqdQ
)(
=
и переходу к интегралу, что и
приводит к формуле (9).
В качестве первого примера применения изложенной схемы рассмотрим
в следующем параграфе вопрос о вычислении площади поверхности вращения.
§5. Площадь поверхности вращения
Пусть имеем на плоскости
x
О
y
(в верхней пол уплоскости) кривую AB,
заданную параметрическими уравнениями )(
tx
ϕ
=
, )(
ty
ψ
=
()
Ttt ≤≤
0
,
где
ϕ
и
ψ
– функции от параметра,
непрерывные вместе со своими
производными. В качестве параметра введем
длину дуги
S
, отсчитываемую от точки A(
t
0
), и
перейдем к представлению
)(
sx
ϕ
=
,
)(
sy
ψ
=
()
Ls ≤≤
0, где
L
– длина всей кривой AB.
Рис. 9.
Амурский Государственный Университет                                                              9


чтобы оно разнилось от ∆Q на бесконечно малую порядка высшего, чем ∆x .
Другими словами, из бесконечно малого (при ∆x → 0 ) “элемента” ∆Q
выделяют его главную часть – дифференциал.
      Ясно, что относительная погрешность приближенного равенства
∆Q ≈q( x)∆x =dQ будет стремиться к нулю вместе с ∆x , погрешность от такой
замены будет бесконечно малой высшего порядка, чем ∆x .
      После этого можно утверждать, что искомая величина Q точно
выражается интегралом
                                                       b
                                                Q =∫q ( x)dx .                             (9)
                                                       a

         Для пояснения этого разделим отрезок [a, b] точками x1 , x2 ,..., xn−1 на
элементарные отрезки [a, x1 ],[ x1 , x2 ],...,[ xi , xi +1 ],...,[ xn −1 , b] .
         Так как каждому отрезку [ xi , xi +1 ] отвечает элементарная часть нашей
величины, приближенно равная q ( xi )∆xi , то вся искомая величина Q
                                                n −1
приближенно выражается суммой                   ∑ q( x )∆x
                                                i =0
                                                           i   i   .

Степень точности полученного значения будет тем выше, чем мельче частичные
промежутки, так что Q, очевидно, будет пределом упомянутой суммы, т.е.
                                                                          b
действительно выразится определенным интегралом ∫q ( x)dx .
                                                                          a

      Это в полной мере относится ко всем трем рассмотренным примерам
вычисления площади, длины дуги кривой, объема тела. Таким образом, все дело
сводится к установлению равенства dQ =q ( x)dx и переходу к интегралу, что и
приводит к формуле (9).
       В качестве первого примера применения изложенной схемы рассмотрим
в следующем параграфе вопрос о вычислении площади поверхности вращения.



                             §5. Площадь поверхности вращения

         Пусть имеем на плоскости xОy (в верхней полуплоскости) кривую AB,
заданную параметрическими уравнениями x =ϕ (t ) , y =ψ (t )                       (t 0 ≤t ≤T ),
                                              где ϕ и ψ – функции от параметра,
                                              непрерывные вместе со своими
                                              производными. В качестве параметра введем
                                              длину дуги S, отсчитываемую от точки A(t0), и
                                              перейдем к представлению x =ϕ (s ) , y =ψ (s )
                                              (0 ≤s ≤L ), где L– длина всей кривой AB.
                  Рис. 9.

Страницы