Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 11 стр.

Амурский Государственный Университет                                          11


Глава II. ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ И ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

       §1. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой

       Как известно, статический момент материальной точки массы m
относительно некоторой оси равен произведению массы m на расстояние d точки
до оси. Для системы n материальных точек с массами m1, m2,    , mn, лежащих в
одной плоскости с осью, соответственно на расстояниях d1, d2,    ,dn от оси L,
статический момент выразится суммой
                                             n
                                      M L =∑ mi d i .
                                            i =1

При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком
плюс, а по другую сторону – со знаком минус.
       Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены
сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то для выражения
статического момента вместо суммы потребуется интеграл. Остановимся на
определении статического момента Mx относительно оси Ох масс, расположенных
вдоль некоторой плоской кривой AB (рис.9). Предположим, что линейная
плотность ρ =ρ(s ) (0 ≤s ≤S ) . Выделим некий элемент ds кривой, масса
которого приближенно выражается числом ρ( s)ds . Приняв элемент ds кривой на
расстоянии у от оси, получим его статический момент, равный
                                 dM x =yρ( s )ds .
Принимая за независимую переменную s, отсчитываемую от точки А, получим
                                             S
                                       M x =∫yρ( s )ds .              (11)
                                             0

Аналогично выражается статический момент относительно оси Oу
                                             S
                                       M y =∫xρ( s )ds .              (12)
                                             0

       Легко понять, что масса элементарной части dm =ρ( s )ds , а следовательно,
                                                       s
масса кривой выражается интегралом                 m =∫ρ( s )ds .     (13)
                                                       0

Статические моменты Мх и Му кривой позволяют установить положение ее центра
тяжести C ( xc , yc ) , обладающего тем свойством, что если в нем сосредоточить всю
“массу” кривой АВ, то статический момент этой массы относительно любой оси
равен моменту всей кривой относительно этой оси.
                                  S
Следовательно,        mxc =M y =∫xρ( s )ds ,
                                  0

                                  S
                      myc =M x =∫yρ( s )ds ,
                                  0