Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 12
откуда
∫
∫
=
S
S
c
dss
dssx
x
0
0
)(
)(
ρ
ρ
,
∫
∫
=
S
S
c
dss
dssy
y
0
0
)(
)(
ρ
ρ
.(14)
В частности, если кривая однородная, т.е.
const
=
ρ
,
то
L
xds
x
S
c
∫
=
0
,
L
yds
y
S
c
∫
=
0
,(15)
где
L
– длина дуги АВ.
Из формулы (15) для ординаты
у
с
центра тяжести получаем замечательное
геометрическое следствие. В самом деле,
∫
=⋅
S
c
ydSLy
0
, откуда
∫
=⋅
S
c
ydSLy
0
22
ππ
.(16)
В правой части равенства (16) имеем площадь
Q
поверхности, полученной
от вращения кривой АВ вокруг оси O
х
, в левой части
c
y
π
2– длина окружности,
описанной центром тяжести при этом вращении. Таким образом, приходим к
утверждению, называемому первой теоремой Гульдина:
площадь поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не
пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину
окружности, описанной центром тяжести кривой.
§2. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
Рассмотрим плоскую фигуру АА
/
В
/
В (рис.10), ограниченную сверху
кривой АВ, которая задана явным уравнением
)(
xfy
=
)(
bxa
≤≤
. Предположим, что
поверхностная плотность постоянна, т.е. фигура
однородна. Можно для определенности считать
1
=
ρ
, тогда масса любой части фиг уры
измеряется ее площадью.
Для вычисления статических моментов
М
х
, М
у
этой фигуры выделим как
обычно элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски
шириной
dx
(рис. 10). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, мы
видим, что масса ее будет
ydx
. Предположив, что масса всей полоски
сосредоточена в ее центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), и учитывая,
что до оси О
х
расстояние равно
yd
x
2
1
=
, а до оси О
у
–
xd
y
=
, находим
Рис. 10.
Амурский Государственный Университет                                                      12


                                 S                         S

                                 ∫xρ(s)ds
                                 0
                                                           ∫yρ(s)ds
откуда                    xc =    S
                                                   , y c = 0S                  .   (14)
                                 ∫ρ(s)ds
                                 0
                                                            ∫ρ(s)ds
                                                            0

В частности, если кривая однородная, т.е. ρ =const ,
                                           S                   S

                                           ∫xds                ∫yds
то                                    xc = 0        , yc = 0               ,       (15)
                                               L                   L
где L– длина дуги АВ.
       Из формулы (15) для ординаты ус центра тяжести получаем замечательное
                                                                       S
геометрическое следствие. В самом деле, y c ⋅ L =∫ydS , откуда
                                                                       0

                                                       S
                                      2πyc ⋅ L =2π ∫ydS .                          (16)
                                                       0

      В правой части равенства (16) имеем площадь Q поверхности, полученной
от вращения кривой АВ вокруг оси Oх, в левой части 2πyc – длина окружности,
описанной центром тяжести при этом вращении. Таким образом, приходим к
утверждению, называемому первой теоремой Гульдина:
площадь поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не
пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину
окружности, описанной центром тяжести кривой.



     §2. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

         Рассмотрим плоскую фигуру АА/В/В (рис.10), ограниченную сверху
                              кривой АВ, которая задана явным уравнением
                              y = f (x)  (a ≤x ≤b) .  Предположим,   что
                                           поверхностная плотность постоянна, т.е. фигура
                                           однородна. Можно для определенности считать
                                           ρ =1 , тогда масса любой части фигуры
               Рис. 10.        измеряется ее площадью.
      Для вычисления статических моментов Мх, Му этой фигуры выделим как
обычно элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски
шириной dx (рис. 10). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, мы
видим, что масса ее будет ydx. Предположив, что масса всей полоски
сосредоточена в ее центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), и учитывая,
                                    1
что до оси Ох расстояние равно d x = y , а до оси Оу – d y =x , находим
                                    2

Страницы