Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 14 стр.

Амурский Государственный Университет                                              14


Предположим, что начальному положению точки М соответствует значение
s=s0, а конечному Т – значение s=S. (рис.11). Каждому значению s в промежутке
[s0,S] отвечает определенное положение движущейся точки К, а также
определенное значение величины F, которую можно рассматривать как
функцию от s. Взяв точку К в каком-нибудь ее положении, определяемом
значением S пути, найдем теперь приближенное выражение для элемента
работы, соответствующего приращению ds пути, от s до s+ds, при котором
точка К перейдет в точку К/ (см. рис. 11). В положении К на точку действует
сила F(s), поскольку изменение этой величины при переходе точки К в К/ при
малом ds также мало, этим изменением можно пренебречь.
        Считая величину силы F(s) приближенно постоянной, найдем для
элемента работы на перемещении ds выражение dA =F ( s )ds .
                                           S
Тогда вся работа                       A =∫F ( s )ds .            (20)
                                           s0




                                  §4. Давление

       Давление, производимое жидкостью с удельным весом γ на одну сторону
погруженной в нее вертикальной пластинки, если расстояние х точек пластинки
до уровня жидкости изменяется от a до b (рис.12), определяется по формуле
                                           b
                                       P =∫γ ⋅ xydx ,             (21)
                                           a

                                       где у – длина горизонтального сечения
                                       пластинки (y = f (x) ) . Так как на
                                       элементарную пластинку шириной dx давит
                                       слой жидкости, находящийся над этой
                                       пластинкой, т.е. dP =γ ⋅ x ⋅ ydx , где ydx –
                                       площадь пластинки,
                                       x⋅ydx – объем жидкости, а γ ⋅ xydx – вес
             Рис. 12.
                                  жидкости, который и оказывает давление.
Следовательно, всё давление P получаем по формуле (21).