Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 13
dxydM
x
2
2
1
=
,
xydxdM
y
=
, а следовательно,
∫
=
b
a
x
dxyM
2
2
1
,
∫
=
b
a
y
xydxM
.(17)
По этим статическим моментам легко определить координаты центра тяжести
фигуры
∫
==⋅
b
a
yc
xydxMxS
;
∫
==⋅
b
a
xc
dxyMyS
2
2
1
,
откуда
S
xydx
x
b
a
c
∫
=
,
S
dxy
y
b
a
c
∫
=
2
2
1
,(18)
где
S
– площадь фигуры АА
/
В
/
В.
Из формулы (18) для ординаты центра тяжести получаем второе важное
геометрическое следствие.
∫
=⋅
b
a
c
dxySy
2
2
ππ
.(19)
Правая часть равенства (19) выражает объем
V
тела, полученного от вращения
плоской фигуры АА
/
В
/
В вокруг оси О
х
, левая часть выражает произведение
площади этой фигуры
S
на
c
y
π
2– длину окружности, описанной центром
тяжести фигуры.
Отсюда получаем вторую теорему Гульдина:
объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен
произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной
центром тяжести фигуры.
V=S
⋅
⋅⋅
⋅
2
π
ππ
π
y
c
.
§3. Механическая работа
Пусть точка М движется по прямой (этим случаем мы ограничиваемся
для простоты), причем на перемещении
s
на нее вдоль той же прямой действует
постоянная сила
F
. Из механики известно, что тогда работа этой силы
A=Fs
.
Если величина силы непрерывно меняется от точки к точке, то для
выражения работы силы снова приходится прибегнуть к интегралу.
Пусть путь
s
, проходимый точкой, будет независимой переменной.
Рис. 11.
Амурский Государственный Университет                                         13


      1
dM x = y 2 dx , dM y =xydx , а следовательно,
      2
                                 b                   b
                                1 2
                                2∫
                      Mx =         y dx , M y =∫xydx .            (17)
                                 a             a

По этим статическим моментам легко определить координаты центра тяжести
                        b                                b
                                             1
фигуры     S ⋅ xc =M y =∫xydx ; S ⋅ yc =M x = ∫y 2 dx ,
                        a
                                             2a
                            b                    b
                                        1 2
                         ∫a xydx        2∫
                                           y dx
откуда              xc =         , yc =  a
                                                ,                (18)
                             S             S
где S – площадь фигуры АА/В/В.
       Из формулы (18) для ординаты центра тяжести получаем второе важное
геометрическое следствие.
                                             b
                                 2πyc ⋅ S =π ∫y 2 dx .            (19)
                                             a

Правая часть равенства (19) выражает объем V тела, полученного от вращения
плоской фигуры АА/В/В вокруг оси Ох, левая часть выражает произведение
площади этой фигуры S на 2πyc – длину окружности, описанной центром
тяжести фигуры.
      Отсюда получаем вторую теорему Гульдина:
объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен
произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной
центром тяжести фигуры.
                               V=S⋅2π yc .



                                §3. Механическая работа


      Пусть точка М движется по прямой (этим случаем мы ограничиваемся
для простоты), причем на перемещении s на нее вдоль той же прямой действует
постоянная сила F. Из механики известно, что тогда работа этой силы A=Fs.
      Если величина силы непрерывно меняется от точки к точке, то для
выражения работы силы снова приходится прибегнуть к интегралу.
      Пусть путь s, проходимый точкой, будет независимой переменной.




                                         Рис. 11.

Страницы