Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 15
Глава III. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
§1. Геометрические задачи
Задача 1
. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внут-
ри круга
222
3
ayx =+
и ограниченной параболами
ayx
2
2
=
и
axy
2
2
=
(
0
>
a
).
Решение.
Найдем абсциссу точки А
пересечения параболы
axy
2
2
=
с окружно-
стью
222
3
ayx =+
.
Исключив
y
из системы уравнений
,2
,3
2
222
axy
ayx
=
=+
получим 032
22
=−− aaxx
, откуда находим единственный положительный ко-
рень
ax
A
=
. Аналогично находим абсциссу точки
D
пересечения окружности
222
3
ayx =+
и параболы
ayx
2
2
=
;
2
ax
D
=
.
Таким образом, интересующая нас площадь равна
()
∫
−=
2
0
12
)()(
a
dxxyxyS
,
где
a
x
xy
2
)(
2
1
=
,
−
=
22
2
3
2
)(
xa
ax
xy
при
при
.2
,0
axa
ax
≤<
≤≤
По свойству аддитивности интеграла
=
−−+
−=
∫∫
2
2
22
0
2
2
3
2
2
a
a
a
dx
a
x
xadx
a
x
axS
=
−+−+
−=
a
a
a
a
x
a
xa
xa
x
a
x
xa
332
22
0
3
2
3
6
3
arcsin
2
3
3
263
2
2
222
22
2
3
1
arcsin
2
3
3
2
6
1
3
2
3
1
arcsin
3
2
arcsin
2
3
63
22
aaa
aa
a
+=+−
−+−=
.
Здесь мы пользовались известной формулой тригонометрии
(
)
22
11arcsinarcsinarcsin
αββαβα
−−−=−
()
0
>
αβ
для преобразования
3
1
arcsin
3
2
1
3
1
3
1
1
3
2
arcsin
3
1
arcsin
3
2
arcsin
=
−⋅−−⋅=−
.
Рис.13.
Амурский Государственный Университет                                                        15


                                  Глава III. РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

                                   §1. Геометрические задачи

         Задача 1. Вычислить площадь фигуры, лежащей в первой четверти внут-
ри круга x 2 +y 2 =3a 2 и ограниченной параболами x 2 =2ay и y 2 =2ax ( a >0 ).

                                                       Решение. Найдем абсциссу точки А
                                                пересечения параболы y 2 =2ax с окружно-
                                                стью x 2 +y 2 =3a 2 .
                                                Исключив y из системы уравнений
                                                                       x 2 +y 2 =3a 2 ,
                                                                       y 2 =2ax,
                Рис.13.

получим x 2 −2ax −3a 2 =0 , откуда находим единственный положительный ко-
рень x A =a . Аналогично находим абсциссу точки D пересечения окружности
x 2 +y 2 =3a 2 и параболы x 2 =2ay ; x D =a 2 .
         Таким образом, интересующая нас площадь равна
                                          a 2
                                      S = ∫(y 2 ( x ) −y1 ( x) )dx ,
                                            0


                x2              2ax при 0 ≤x ≤a,
где y1 ( x) =      , y 2 ( x) =
                2a              3a −x при a 0) для преобразования
         2         1         2      1   1      2       1
arcsin     −arcsin   =arcsin
                               ⋅ 1 −  −   ⋅ 1 − =arcsin .
                                                 
         3         3         3      3   3      3       3

Страницы