Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 16 стр.

Амурский Государственный Университет                                                           16



       Задача 2. Вычислить площадь петли кривой y 2 =x ( x −1) 2 .
       Решение. Область определения неявной функции y есть полуотрезок
[0;+∞). Так как в уравнение кривой у входит во второй степени, то кривая
симметрична относительно оси Ох . Положительная ветвь y1 ( x) задается
уравнением
                                              x (1 −x), 0 ≤x ≤1,
                      y =y1 ( x) = x ⋅ x −1 =
                                              x ( x −1), x >1.
Общие точки симметричных ветвей y1 ( x) и y 2 ( x) =−y1 ( x) должны лежать на
оси Ох. Но y1 ( x ) = x ⋅ x −1 =0 лишь при x1 =0 и x2 =1 .
Следовательно, петля кривой образована кривыми y = x (1 −x) и
                                        y =− x (1 −x) , 0 ≤x ≤1 (рис. 14).
                                        Поэтому площадь петли равна
                                            1               1
                                                               12    3
                                                                             8
                                        S =2∫ x (1 −x)dx =2 ∫x   −x 2 
                                                                        dx =   .
                                            0               0              15
                 Рис. 14.


       Задача 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой x =a sin t ,
y =b sin 2t .
       Решение. Для построения кривой учтем, что она симметрична
                                  относительно осей координат.
                                  Действительно, если заменить t на π–t , то
                                  переменная x не меняется, а y изменяет
                                         только свой знак; следовательно, кривая
                                         симметрична относительно оси Ох. При
                                         замене же t на π+t переменная y не
                                         меняется, а x изменяет только знак. Это
                                         значит, что кривая симметрична
                 Рис. 15.                относительно оси Оу.

Далее, так как функции x =a sin t , y =b sin 2t имеют общий период 2π, то
достаточно ограничиться изменением параметра: 0 ≤t ≤2π .
      Из уравнения кривой легко заключить, что правая петля соответствует
изменению параметра от нуля до π , поэтому достаточно вычислить ее площадь
и удвоить результат.
         π           π                        π                                   π
                                                                        cos 2 t        8
    S =2∫y ⋅ x′dt =2∫b sin 2t ⋅ a cos tdt =4ab ∫cos 2 t sin tdt =−4ab                 = ab .
         0            0                        0
                                                                          3       0    3