Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 18 стр.

Амурский Государственный Университет                                                                   18


                                                            2x       2x
                             2x        2x                           −
                         1 a         −      e a +e                      +2        1 a     − 
                                                                      a                 x     x
 1 +( f ′( x) )      = 1+             a 
                                                                                   =         a 
                 2
                           e    −2 +e       =                                         e   +e    .
                         4
                          
                                          
                                                  4                                2
                                                                                               
                     x    x
                         −
           e a +e                 1 a          −     a a   − 
             x            a              x       x  x      x   x
Тогда L =∫                    dx = a ⋅ e −a ⋅ e 
                                                 a       
                                                    = 2 e +e .
                                                               a 
         0
               2                  2
                                                  0           

       Задача 6. Найти длину одной арки циклоиды.
x =a(t −sin t ),
                 0 ≤t ≤2π , a >0 .
y =a(1 −cos t ),
      Решение. Применим формулу для вычисления длины дуги кривой,
заданной параметрическими уравнениями
                                                   β

                                           L =∫ ϕ ′ 2 (t ) +ψ ′ 2 (t )dt .
                                                α

Учитывая, что ϕ ′ (t ) +ψ ′ (t ) =(a(1 −cos t ) ) +(a sin t ) =
                         2            2                       2                2



      (                                    )
 =a 2 1 −2 cos t +cos 2 t +sin 2 t =a 2 (2 −2 cos t ) =4a 2 sin 2
                                                                               t
                                                                               2
                                                                                 ,

                                                       t        t       t
получим      ϕ ′ 2 (t ) +ψ ′ 2 (t ) = 4a 2 sin 2         =2a sin =2a sin ,
                                                       2        2       2
                                   t              t    t
так как для t ∈[0,2π ];              ∈[0,π ] и sin =sin .
                                   2              2    2
                              2π                             2π
                          t            t
Следовательно, L = ∫2a sin dt =−4a cos                            =8a .
                   0
                          2            2                      0



      Задача 7. Найти длину дуги кардиоиды, заданной уравнением
ρ =2a(1 −cosθ ).
          Решение. Воспользуемся формулой (6)
                                               β

                                          L =∫ ρ 2 (θ ) +ρ′ 2 (θ ) dθ ,
                                               α

ρ′(θ ) =2a sin θ ,
                                                                                                 θ
ρ 2 (θ ) +ρ′ 2 (θ ) =4a 2 (1 −cosθ ) +4a 2 sin 2 θ =4a 2 (2 −2 cosθ ) =16a 2 sin 2
                                           2
                                                                                                   .
                                                                                                 2
                                                                             θ
                                          ρ 2 (θ ) +ρ′ 2 (θ ) dθ =4a sin       ,
                                                                             2
                              2π
                                        θ π
                                                                    2
                          θ      
следовательно, L = ∫4a sin dθ =4a−2 cos  =16a .
                   0
                          2            20