Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 20 стр.

Амурский Государственный Университет                                                   20


       Задача 10. Найти объем и поверхность тела, образованного вращением
вокруг оси Ох одной арки циклоиды x =a (t −sin t ), y =a(1 −cos t ) (0 ≤t ≤2π ) .
                                     2π           2π

        Решение. V =π ∫y 2 dx =π ∫a 2 (1 −cos t ) 2 ⋅ a (1 −cos t )dt =
                                     0            0

                            2π
                                 (                          )
                  =π ⋅ a 3 ∫1 −3 cos t +3 cos 2 t −cos 3 t dt =5π 2 a 3 (куб.ед.)
                            0

       2π                                    2π
S =2π ∫y x′ 2 (t ) +y ′ 2 (t ) dt =2π ∫a 2 (1 −cos t ) (1 −cos t ) 2 +sin 2 t dt =
        0                                    0

            2π                                         2π
               t                               t
=2π ⋅ a ∫2 sin ⋅ 2 −2 cos t dt =8π ⋅ a 2 ∫sin 3 dt =
        2            2

        0
               2                         0
                                               2
                                                      t  2π
            2π                                   cos 3 
                   t       t                t      2 =
=8π ⋅ a 2 ∫1 −cos 2 2d −cos =−16π ⋅ a 2 cos −
                   2       2               2   3    
          0
                                                        0
                                                        
             2 2  64
=−16π ⋅ a 2 − − = π ⋅ a 2 (кв.ед.) .
             3 3 3



                                          §2. Физические задачи

       Задача 1. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из
котла, имеющего форму полушара радиуса R.
       Решение. Так как сила, которую надо прикладывать к каждой частице при
                               ее поднятии, равна весу частицы, то работа по
                               поднятию одной частицы равна произведению
                               массы частицы на глубину ее погружения.
                               Рассмотрим слой воды шириной dx, находящийся
                               на глубине х от поверхности воды.
                               Элементарная работа по поднятию этого слоя
                                              выразится dA =γ ⋅π ⋅ y 2 dx ⋅ x , где
                 Рис. 18.                     γ =1 – плотность воды: y 2 =R 2 −x 2 ;
π ⋅ y 2 dx – объем элементарного слоя: γ ⋅π ⋅ y 2 dx – масса слоя.
Так как х меняется от 0 до R, то вся работа
   R
                          R 2 x 2 x 4  R    R 4 R 4  πR 4
A =∫π ( R 2 −x 2 ) xdx =π 
                           2     −       =π 
                                              2 −4   = 4 (ед.раб.).
   0                               4 0             

      Задача 2. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар
радиусом R, вращающийся с угловой скоростью ω вокруг своего диаметра?