Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 21 стр.

Амурский Государственный Университет                                                       21



                                                                        mV 2 
       Решение. Работа в данном случае равна кинетической энергии шара  2  .
                                                                             
Для подсчета энергии разобьём шар на концентрические полые цилиндры толщиной
dх и радиуса х. Скорость точек такого цилиндра равна ωх. Дифференциал объема
dV =4π ⋅ x R 2 −x 2 dx , дифференциал массы dm =γdV , где γ – плотность железа;
дифференциал кинетической энергии dK =2πγω2 x 3 R 2 −x 2 dx . Отсюда
              R
                                     4πγR 3 ω2 R 2      ω2 R 2
              ∫x
          2        3        2    2
K =2πγω                    R −x dx =       ⋅       =m ⋅        .
              0
                                       3     5           5


       Задача 3. Электрический заряд Е, сосредоточенный в начале координат, от-
талкивает заряд е из точки (а,0) в точку (b,0). Определить работу А силы отталкива-
ния F.
       Решение. Дифференциал работы силы на перемещении dx равен
           eE
dA =Fdx = 2 dx .
           x
                       b
               dx    1 1 
Отсюда A =eE ∫ 2 =eE  − . При b → ∞ работа А стремится к величине eE .
               x     a b                                            a
             a



       Задача 4. Найти величину давления воды на вертикальную плотину, имею-
щую форму трапеции с верхним основанием, равным 70м, нижним основанием –
50м и высотой в 20м.
       Решение. Дифференциал площади dS заштрихованной (рис.19) области, при-
                           ближенно равен MN ⋅ dx . Учитывая подобие треуголь-
                                                           ML 20 −x
                           ников OML и OAE, находим            =      , отсюда ML =
                                                            20    20
                           20 – x, MN = 20 –х + 50 =70–х. Таким образом,
                           dS =(70 −x)dx , а дифференциал силы давления воды
                                       равен dP =xdS =x(70 −x)dx , где х изменяется от 0
                                                                   20
                                                                                   1
          Рис. 19.                     до 20. Следовательно, P = ∫x(70 −x)dx =11333 .
                                                                 0
                                                                                   3


      Задача 5. Найти декартовы координаты центра тяжести дуги кардиоиды
ρ =a(1 +cos ϕ ) , от ϕ =0 до ϕ =π .
       Решение. Запишем уравнение кардиоиды в параметрической форме:
       x =ρ cos ϕ =a (1 +cos ϕ ) cos ϕ ,
       y =ρ sin ϕ =a (1 +cos ϕ ) sin ϕ ,                (0 ≤ϕ ≤π ) .
                                                                        ϕ
Т.к. длина кардиоиды равна 8a , а dL = xϕ′ 2 +yϕ′ 2 dϕ =2a cos            dϕ , то
                                                                        2