Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 22 стр.

Амурский Государственный Университет                                                                 22


                            π
        1        1                         ϕ
yc =      ∫
       4a L
            ydL = ∫a sin ϕ (1 +cosϕ )2a cos dϕ =
                 4a 0                      2
       π                                            π
                  ϕ      ϕ     4a     ϕ                     4
=2a ∫cos 4          ⋅ sin dϕ =− cos 5                      = a.
       0
                  2      2      5     2                0    5
                            π                                            π
        1        1                        ϕ                  ϕ
xc =      ∫
       4a L
            xdL = ∫a cosϕ (1 +cosϕ )2a cos dϕ =a ∫cos ϕ cos 3 dϕ =
                 4a 0                     2      0
                                                             2
                                                           π
   π                                                       2
            ϕ      ϕ    ϕ
    
=a ∫2 cos 5 −cos 3 dϕ = =t =2a ∫2 cos 5 t −cos 3 t dt =
            2      2    2
                                                               (              )
   0                            0

                                              π


                                                  ((                          )
       π                                      2
           (                    )                                  )
                                                                   2
=2a ∫2 cos 4 t −cos 2 t cos tdt =2a ∫2 1 −sin 2 t −1 +sin 2 t d (sin t ) =
       0                                      0

       π
       2
           (                                       )
=2a ∫ 2 −4 sin 2 t +2 sin 4 t −1 +sin 2 t d (sin t ) =
       0

                                          π
          3 sin 3 t 2 5  2            2 4
=2a
   sin t −         + sin t 
                              =2a1 −1 + = a .
              3     5      0          5 5


               Задача 6. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной прямой
   2
y = x и синусоидой y =sin x при x ≥0 .
   π
     Решение.
                                                             2
                                                  Прямая y = x и синусоида y =sin x
                                                             π
                                                                               π 
                                                  пересекаются в точках (0;0),  ;1.
                                                                               2 
                                                  Площадь фигуры, ограниченной этими линиями,
                                                                          π
                                                                          2
                                                                                  2       4 −π
                    Рис.20.                       равна                S =∫sin x − x dx =      .
                                                                          0       π         4
                    π
                    2
                                   2 
                    ∫xsin x −π x dx
                                                           π

                                                    4     
                                                           2
                                                                   2 2       4    π2     12 −π 2
                                                  4 −π ∫
Отсюда xc = 0                                 =         x sin x −  x dx =     −        =        .
                            (4 −π )                    0 
                                                                  π        4 −π 3(4 −π ) 12 −3π
                                    4
                    π
                                                                                   π
       4 1  2      2
                     4            2 1     sin 2 x 4 x 3  2     π
yc =     ⋅ ∫sin x − 2 x 2 dx =      
                                        x −       − 2      =         .
     4 −π 2 0      π           4 −π 2       4    3π        6(4 −π )
                                                                                   0