Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 23 стр.

Амурский Государственный Университет                                                                 23


          Задача 7. Найти площадь поверхности и объемы колец (торов), образо-
ванных вращением круга (x −a ) +(y −b ) ≤r 2 вокруг осей Ох и Оу (a ≥r , b ≥r ).
                                            2           2


       Решение. Если вращать круг вокруг оси Ох, то центр тяжести круга нахо-
дится от оси вращения на расстоянии b, а поэтому площадь поверхности найдем
по первой теореме Гульдина:
                                      S x =2πr ⋅ 2πb =4π 2br ,
объем – по второй теореме Гульдина:

                                     Vx =πr 2 2πb =2π 2br 2 .
          Если вращение производить вокруг оси Оу, то расстояние центра тяжести
круга до оси Оу будет равно a . Тогда
                                                                          2           2   2
                    S y =2πr ⋅ 2πa =4π 2 ar , Vy =πr 2πa =2π ar .

      Задача 8. Пользуясь теоремой Гульдина, найти объем тела, полученного
при вращении прямоугольника вокруг оси, проходящей через его вершину пер-
пендикулярно диагонали, если длина прямоугольника равна 8, а ширина 6.
      Решение. Так как центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении
диагоналей, то его расстояние до оси равно половине диагонали, т.е. при ширине
прямоугольника, равной 6, и длине, равной 8, половина диагонали равна 5.
      Тогда объем тела V =2π ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅8 =480π .


          Задача 9. Найти массу стержня длины 100см, если линейная плотность
                                                (               )
стержня меняется по закону σ = 20 x +0,15 x 2 г/см, где х – расстояние от одного
из концов стержня.
          Решение. Масса элементарной части стержня равна dm =σ dx . Тогда
масса всего стержня
    100       100                                               100
                   (             )      (
m = ∫δdx = ∫20 x +0,15 x dx = 10 x +0,05 x
                             2                      2       3
                                                                )       =100000 +0,05 ⋅1000000 =150 (кг).
     0         0                                                    0




       Задача 10. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром основа-
ния 4 м наполнен водой. За какое время вода вытечет из него через круглое от-
                   1
верстие радиуса      м , сделанное в дне резервуара?
                  12
          Решение. Скорость истечения жидкости по закону Бернулли выражается
формулой V =σ 2 gx , причем для воды σ ≈0,6 .