Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 25
δ
– удельный вес жидкости;
S
– площадь заштрихованной полоски (рис. 22). Си-
ла давления воды будет некоторой функцией
P(х).
Найдем дифференциал
dP
этой функции. Допустим ввиду малости
dх
, что все точки заштрихованной по-
лоски находятся на глубине
х
. Тогда приближенная величина давления воды на
эту полоску будет равна весу столба воды, имеющего основанием эту полоску, а
высоту, равную глубине
х.
Следовательно,
xdxxdxdp
1818
=⋅=
δ
(удельный вес
воды
3
1
см
г
=
δ
).
Согласно условию задачи глубина
х
изменяется на отрезке [0;6], поэтому
искомое давление на весь шлюз найдем, интегрируя
dp
в пределах от 0 до 6, т.е.
108918
0
6
2
6
0
===
∫
xxdxP
(т) = 108000
⋅
9,81(
н
) = 1059480 (н)
≈
1,06 (
мн
)
(
н
(ньютон) – единица силы (веса), 1
н
≈
0,102
кг
; 1
кг
≈
9,81
н
).
Задача 2.
Вычислить, с какой силой вода давит на вертикальную плотину,
имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно 70
м
, нижнее 50
м
,
а высота 20
м
.
Решение.
Допуская, что заштрихованная полоска шириной
dх
располо-
жена на глубине
х
в горизонтальной
плоскости и что она является прямо-
угольником со сторонами
dх
и
у
, най-
дем приближенно силу давления воды
на эту полоску.
xydxdP
=
, где
[]
20;0
∈
x
.
Тогда
∫
=
20
0
xydxP
.
Для вычисления интеграла выразим переменную
у
через
х
. Проведем
ABCE
, из
подобия треугольников DCE и MCN имеем:
x
h
MN
DE
=
, где DE=70
–
50=20; MN=70
–
у
,
h
=
20.
Следовательно,
xy
20
70
20
=
−
, откуда 70
–
у=
х
, т.е.
у
=
70
–
х
.
Дифференциал силы
dxxxxdSdP
)70(
−==
.
=
−=−=−=
∫∫
0
20
3
2
20
0
2
20
0
3
35)70()70(
x
xdxxxdxxxP
3
50000
3
8000
14000
=−=
(т) = 490,5 (
мн
).
Рис. 23.
Амурский Государственный Университет                                                       25


δ – удельный вес жидкости; S – площадь заштрихованной полоски (рис. 22). Си-
ла давления воды будет некоторой функцией P(х). Найдем дифференциал dP
этой функции. Допустим ввиду малости dх, что все точки заштрихованной по-
лоски находятся на глубине х. Тогда приближенная величина давления воды на
эту полоску будет равна весу столба воды, имеющего основанием эту полоску, а
высоту, равную глубине х. Следовательно, dp =18δ ⋅ xdx =18 xdx (удельный вес
воды δ =1 г           ).
               см 3
      Согласно условию задачи глубина х изменяется на отрезке [0;6], поэтому
искомое давление на весь шлюз найдем, интегрируя dp в пределах от 0 до 6, т.е.
           6                      6
       P =∫18 xdx =9 x       2
                                      =108 (т) = 108000⋅9,81(н) = 1059480 (н) ≈1,06 (мн)
           0                      0

( н (ньютон) – единица силы (веса), 1н ≈0,102кг ; 1кг ≈9,81н ).



       Задача 2. Вычислить, с какой силой вода давит на вертикальную плотину,
имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно 70 м, нижнее 50 м,
а высота 20 м .
       Решение. Допуская, что заштрихованная полоска шириной dх располо-
                                        жена на глубине х в горизонтальной
                                        плоскости и что она является прямо-
                                        угольником со сторонами dх и у, най-
                                        дем приближенно силу давления воды
                                        на эту полоску.
                                        dP =xydx , где x ∈[0;20].
                                                                 20

                       Рис. 23.                       Тогда P = ∫xydx .
                                                                 0

Для вычисления интеграла выразим переменную у через х. Проведем CE AB , из
подобия треугольников DCE и MCN имеем:
                 DE h
                    = , где DE=70 – 50=20; MN=70 – у, h = 20.
                MN x
Следовательно,
                   20    20
                       = , откуда 70 – у= х, т.е. у = 70 – х.
                  70 −y x
Дифференциал силы dP =xdS =x(70 −x)dx .
                         20             20
                                                          2 x 3  20
                      P = ∫x(70 −x)dx =∫(70 x −x 2 )dx =35 x − 3   =
                          0             0                           0
                                    8000 50000
                            =14000 −       =       (т) = 490,5 (мн).
                                      3       3

Страницы