Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 26 стр.

Амурский Государственный Университет                                             26


       Задача 3. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной
вниз. Высота конуса h, радиус основания R.
       Решение. Работа А, затрачиваемая на поднятие некоторого тела, зависит
от высоты х его подъема и веса тела Р. А=Рх. Допустим, что работа,
                                затраченная на выкачивание слоя воды
                                толщиной x, есть некоторая функция A(x) ,
                                 найдем дифференциал этой функции. При
                                 увеличении x на величину dx объем слоя воды
                                 увеличится на ∆V ≈π ⋅ r 2 dx , а его вес
                                  ∆p =πδ ⋅ r 2 dx . Следовательно, затраченная
                                 работа увеличится на ∆A ≈πδ ⋅ r 2 xdx =dA , где
                                                                      h
                                  x ∈[0, h]. Искомая работа A =∫πδ ⋅ r 2 xdx .
            Рис. 24.
                                                                      0

       Найдем r из подобия треугольников AOC и AQN
                             R   h       R (h −x)
                               =    ; r=          .
                             r h −x          h
                h                      h
              R 2 (h −x) 2        R2
Тогда A =πδ ∫                          ∫(h                   )
                                             2
                           xdx =πδ 2             x −2hx 2 +x 3 dx =
            0      h2             h    0


      R 2  2 x2 2 3 x4 h      R 2 h 4 2 4 1 4  πR 2 2
=πδ       h    − hx +     =πδ      − h + h    =    h (ед.раб.) .
      h2  2 3        4 
                         0     h2 2 3     4   12

      Задача 4. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
поднять тело массы m с поверхности Земли на высоту h (радиус Земли
R=6400км). С помощью полученного результата определить вторую
космическую скорость (скорость, при которой вертикально поднимающееся
тело может подняться на любую высоту).
      Решение. На ракету, имеющую массу m, по закону всемирного тяготения
                    mM
действует сила F =G 2 , где G – гравитационная постоянная; M – масса
                     x
                            Земли; m – масса ракеты; x ∈[R, R +h],
                               CM
               h                    =g 0 ≈9,8 м 2 – ускорение свободного
                                R 2
                                               с
               R               падения.
                                      Полагая, что работа, совершаемая
                               двигателем ракеты при подъеме ее на высоту x,
                               есть некоторая функция A(x), и допуская, что при
                               дальнейшем подъеме на бесконечно малую
          Рис. 25.             высоту dx сила F остается неизменной, найдем
                               приближенную величину приращения работы