Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 28
Решение.
Будем считать, что элементарный слой воды, находящийся на
глубине
x
, имеет форму прямого кругового
цилиндра высотой
dx
с радиусом основания
yrp
+=
. Из подобия
∆
ABC и
∆
DBE имеем
xH
y
H
rR
−
=
−
;
H
xHrR
y
))((
−−
=
.
Следовательно,
x
H
rR
R
H
xHrR
rp
−
+=
−−
+=
))((
.
Тогда объем элементарного слоя будет равен
dxx
H
rR
xrR
H
R
Rdxx
H
rR
RdV
−
+−+=
−
+=
2
2
2
2
)(
2
ππ
.
Элементарная работа, совершаемая для поднятия этого слоя на высоту
x
, равна
()
dxx
H
rR
RgxdA
2
−
+=
πρ
, где
ρ
=1 – плотность воды;
g
– гравитационная
постоянная. Следовательно,
∫∫
=
−
+
−
+=
−
+=
HH
dxx
H
rR
x
H
rR
xRgdxx
H
rR
RxgA
0
3
2
22
0
2
)(2
πρπρ
=
−
+⋅
−
+=
0
4
2
322
43
)(2
2
H
x
H
rRx
H
rRxR
g
πρ
=
−+−+=
⋅
−
+⋅
−
+=
2
2
2
4
2
2322
)(
4
1
)(
3
2
24
)(
3
)(2
2
rRrR
R
Hg
H
H
rRH
H
rRHR
g
πρπρ
+−−+=
223
2
3
2
4
3
2
22
rRr
rRRHg
πρ
(ед.раб.).
Задача 7.
Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из вертикально стоящей цистерны, радиус основания которой
равен
R
, а высота
H
.
Решение.
Объем элементарного слоя воды
dxRdV
2
π
=
, элементарная работа, совершаемая для
поднятия этого слоя воды на высоту
x
, равна
dxRgxdA
2
πρ
=
,
[]
Hx
;0
∈
. Следовательно,
∫
===
H
H
HRgx
RgxdxRgA
0
22
0
2
22
22
πρ
πρπρ
(
дж
.).
Рис. 27.
Рис. 28.
Амурский Государственный Университет                                                    28


         Решение. Будем считать, что элементарный слой воды, находящийся на
                                    глубине x , имеет форму прямого кругового
                                    цилиндра высотой dx с радиусом основания
                                     p =r +y . Из подобия ∆ABC и ∆DBE имеем
                                       R −r       y                 ( R −r )( H −x)
                                              =            ; y=                     .
                                   H      H −x                             H
                                 Следовательно,
            Рис. 27.                      ( R −r )( H −x)     R −r
                                  p =r +                  =R+      x.
                                                 H             H
Тогда объем элементарного слоя будет равен
          R −r 
                  2
                              2R           R −r  2 
                                                   2

dV =π R +     x  dx =π R 2 + ( R −r ) x +     x  dx .
           H                H             H      
                                                     
Элементарная работа, совершаемая для поднятия этого слоя на высоту x , равна
         
dA =ρgxπ R +
              (R −r ) x  dx , где ρ=1 – плотность воды; g – гравитационная
                         2

                        
               H       
постоянная. Следовательно,
    H
            R −r 
                    2        H
                                2  2( R −r ) 2 R −r  3 
                                                       2

A =∫ρgπxR +                   
                 x  dx =ρgπ ∫ R x +         x +     x  dx =
             H                      H         H    
   0                         0                           
     R 2 x 2 2( R −r ) x 3 R −r 2 x 4  H
=ρgπ        +         ⋅ +              =
      2         H      3    H     4   
                                        0
     R 2 H 2 2( R −r ) H 3 ( R −r ) 2 H 4          2 R
                                                          2
                                                             2          1           
=ρgπ 
      2     +         ⋅    +     2
                                      ⋅    
                                            = ρg πH   
                                                           + ( R −r ) + ( R −r ) 2 
                                                                                    =
                H       3     H        4             2 3             4           
                                2
        3 2 2       2     Rr r 
=ρgπH 2 
        4 R  +  R −   r −   +     (ед.раб.).
              3     3     2   2 

       Задача 7. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы
выкачать воду из вертикально стоящей цистерны, радиус основания которой
равен R, а высота H.
                             Решение. Объем элементарного слоя воды
                        dV =πR 2 dx , элементарная работа, совершаемая для
                        поднятия этого слоя воды на высоту x , равна
                        dA =ρgxπR 2 dx , x ∈[0; H ]. Следовательно,
                             H                             H
                                                      x2           ρgπR 2 H 2
                        A = ∫ρgπR 2 xdx = ρgπR 2               =              (дж.).
                             0
                                                      2    0          2


        Рис. 28.

Страницы