Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 30
§4. Расчетные задания
Задание 1.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
заданными: а) в явном виде; б) параметрически; в) в полярных координатах.
№
п/п
а) б) в)
1.1.
.3,1
2
=++= yxxy
=
=
,sin
,cos
3
3
tay
tax
π
20
≤≤
t
.
ϕρ
4cos
22
a=
.
1.2.
,12
2
+= xy
01
=−− yx
.
−=
−=
),cos1(
),sin(
tay
ttax
π
20
≤≤
t
,
0
=y
.
,
3
cos
−
=
π
ϕ
ρ
a
.0
,0
=
=
y
x
1.3.
.,2
322
xyxy =−=
−=
−=
).6(
8
),6(
3
2
t
t
y
t
t
x
ϕρ
cos32
a=
,
ϕρ
sin2
a=
.
1.4.
xxyxy
2
sin,
+==
,
π
≤≤
x
0
.
+=
+=
),cos1(sin
),cos1(cos
ttay
ttax
π
20
≤≤
t
.
ϕρ
cos2
−=
,
ϕρ
cos
=
.
1.5.
,1,
2
−== xxy
0,2
== yx
.
−
=
=
.
3
,
2
2
tt
y
tx
ϕρ
cos
a=
,
ϕϕρ
sincos
aa +=
.
1.6. .2,
2
xxyxy −=−=
=
=
.sin
,cos
3
tay
tax
)2(cos2
+=
θρ
a
.
1.7.
,0,sin
== yxy
π
≤≤
x
0
.
=
=
.sin
,cos
tby
tax
ϕρ
2sin
a=
.
1.8. .0,4
2
=−= yxxy
−=
−=
,cos
,sin
tbay
tbatx
.0
,20
=
≤≤
y
t
π
ϕρ
3sin
a=
.
1.9. 1,,
===
−
xeyey
xx
.
−=
+=
,sin12cos5
,sin5cos12
tty
ttx
π
20
≤≤
t
.
ϕρ
cos
a=
,
ϕρ
sin
a=
.
1.10.
xyxy
2
ln,ln
==
.
−=
+=
),cos(sin
),sin(cos
tttay
tttax
π
20
≤≤
t
.
ϕρ
2
sin4
=
.
1.11.
pyxpxy
2,2
22
==
.
−=
−=
).2sinsin2(
),2coscos2(
ttay
ttax
θρ
2cos2
2
=
.
Амурский Государственный Университет                                                           30


                                 §4. Расчетные задания

      Задание 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями,
заданными: а) в явном виде; б) параметрически; в) в полярных координатах.

 №
 п/п
                  а)                              б)                                в)
                                 x =a cos 3 t ,
1.1.          2
        y =x +1, x +y =3.                  3
                                                  0 ≤t ≤2π .               ρ 2 =a 2 cos 4ϕ .
                                  y =a sin   t ,
                                  x =a(t −sin t ),                             a     x =0,
        y 2 =2 x +1,                               0 ≤t ≤2π ,        ρ=            ,
1.2.                             y =a(1 −cos t ),                             π  y =0.
        x −y −1 =0 .                                                       cosϕ − 
                                                y =0 .                           3

                                     t
                                  x =3 (6 −t ),                      ρ =2 3a cos ϕ ,
1.3.    y =2 −x 2 , y 2 =x 3 .        2
                                 y =t (6 −t ).                       ρ =2a sin ϕ .
                                     8
                                 x =a cos t (1 +cos t ),
        y =x, y =x +sin 2 x ,                                        ρ =2 −cos ϕ ,
1.4.                             y =a sin t (1 +cos t ),             ρ =cos ϕ .
        0 ≤x ≤π .
                                           0 ≤t ≤2π .

        y =x 2 , x =−1,           x =t 2 ,                           ρ =a cos ϕ ,
                                 
1.5.                                t −t 2
        x =2, y =0 .             y =       .                         ρ =a cosϕ +a sin ϕ .
                                      3
                                  x =a cos t ,
1.6.    y =−x, y =2 x −x 2 .              3
                                                                      ρ =2a (cosθ +2) .
                                 y =a sin t.
        y =sin x, y =0,          x =a cos t ,
1.7.                                                                 ρ =a sin 2ϕ .
        0 ≤x ≤π .                 y =b sin t.
                                 x =at −b sin t ,       0 ≤t ≤2π ,
1.8.    y =4 x −x 2 , y =0.                                          ρ =a sin 3ϕ .
                                  y =a −b cos t ,         y =0.
                                 x =12 cos t +5 sin t ,
                       −x                                            ρ =a cos ϕ ,
1.9.    y =e , y =e , x =1 .     y =5 cos t −12 sin t ,
             x
                                                                      ρ =a sin ϕ .
                                           0 ≤t ≤2π .
                                 x =a(cos t +t sin t ),
                            2    
1.10.   y =ln x, y =ln x .       y =a(sin t −t cos t ),              ρ =4 sin 2 ϕ .
                                           0 ≤t ≤2π .
                                 x =a(2 cos t −cos 2t ),
1.11.   y 2 =2 px, x 2 =2 py .                                       ρ 2 =2 cos 2θ .
                                  y =a(2 sin t −sin 2t ).

Страницы