Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 29
Задача 8.
Вычислить кинетическую энергию однородного диска массы m и
радиуса
r
, вращающегося с угловой скоростью
ω
вокруг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно к его плоскости.
Решение.
Полная кинетическая энергия
22
22
.
ω
JmV
E
кин
+=
. Для вращатель-
ного движения
V
=0 , следовательно,
2
2
ω
J
E
кин
=
, где
J
– момент инерции. Выделим элементарное кольцо
ширины
dx
, его элементарный момент инерции
dxxxxdxmrddJ
322
22)(
⋅=⋅⋅⋅==
ππν
. Тогда эле-
ментарная кинетическая энергия
dxxdE
к
3
2
2
2
⋅⋅=
πν
ω
, а следовательно,
=⋅⋅==⋅=⋅⋅=
∫
2244
2
2
22
24
2
0
4
2
0
3
2
R
RR
x
dxxE
R
R
к
ω
νπ
ω
πνπνωπν
ω
222
222
ωω
⋅=⋅=
J
mR
; где
2
Rm
νπ
=
,
J
mR
=
2
2
– момент инерции диска.
Ответ.
2
2
ω
⋅=
JE
кин
.
Задача 9.
Найти силу давления воды на вертикальную треугольную пла-
стинку с основанием
a
и высотой
h
, погруженную в жидкость.
Решение.
Рассмотрим горизонтальную по-
лоску, находящуюся на глубине
x
и имеющую
ширину
dx
. Приближенно можно считать эту по-
лоску прямоугольником, площадь которого
dxMNdS
⋅=
. Из подобия треугольников ABC и
MBN имеем
a
MN
h
x
=
, откуда
h
ax
MN
=
и
dx
h
ax
dS
=
. Сила давления воды на эту полоску
приближенно равна
dx
h
ax
xdSdP
2
==
,
[]
hx
,0
∈
.
Тогда сила давления на всю пластинку ABC равна
33
2
0
3
0
2
ah
h
ax
dxx
h
a
P
h
h
===
∫
.
Ответ.
3
2
ah
P
=
.
Примечание .
Задачи настоящего параграфа взяты из школьного учебника:
Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ
для 10 класса.
М.: Просвеще-
ние. 1995.
Рис. 29.
0
x
x
+
dx
y
x
Рис. 30.
y
x
Амурский Государственный Университет                                                                      29


       Задача 8. Вычислить кинетическую энергию однородного диска массы m и
радиуса r, вращающегося с угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно к его плоскости.
                                                        mV 2 Jω2
         Решение. Полная кинетическая энергия E кин . =     +    . Для вращатель-
                                                         2    2
            y
                                                                         Jω2
                             ного движения V=0 , следовательно, E кин =      , где
                                                                          2
                             J – момент инерции. Выделим элементарное кольцо
              0 x x+dx    x ширины dx, его элементарный момент инерции
                                           dJ =d (mr 2 ) =ν ⋅ 2π ⋅ xdx ⋅ x 2 =2π ⋅ x 3 dx . Тогда эле-
                                           ментарная кинетическая энергия
                                                 ω2
                Рис. 29.                   dE к = ⋅ 2πν ⋅ x 3 dx , а следовательно,
                                                 2
     R                                      R
       ω2                     x4                      ω2 4         ω2 R 2
E к =∫ ⋅ 2πν ⋅ x 3 dx =πνω2 ⋅                   =πν     R =νπR 2 ⋅   ⋅    =
     0
        2                     4             0         4             2 2
     2      2              2
  mR ω        ω              2  mR 2
=    ⋅   =J ⋅    ; где m =νπR ,      =J – момент инерции диска.
   2   2       2                 2
                                    ω2
         Ответ. E кин          =J ⋅    .
                                    2

      Задача 9. Найти силу давления воды на вертикальную треугольную пла-
стинку с основанием a и высотой h, погруженную в жидкость.
                                     Решение. Рассмотрим горизонтальную по-
                          y лоску, находящуюся на глубине x и имеющую
                              ширину dx . Приближенно можно считать эту по-
                              лоску прямоугольником, площадь которого
                              dS =MN ⋅ dx . Из подобия треугольников ABC и
                                           x MN                 ax
                              MBN имеем =         , откуда MN =    и
                                           h    a               h
                                    ax
                              dS = dx . Сила давления воды на эту полоску
                                    h
 x               Рис. 30.                                                         ax 2
                                            приближенно равна dP =xdS =                dx , x ∈[0, h].
                                                                                   h
                                                                        h                h
                                                    a        ax 3                                ah 2
Тогда сила давления на всю пластинку ABC равна P =∫ x 2 dx =                                 =        .
                                                  0 h
                                                             3h                          0        3
                                 2
                 ah
         Ответ. P =   .
                   3
       Примечание . Задачи настоящего параграфа взяты из школьного учебника:
Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса. М.: Просвеще-
ние. 1995.

Страницы