Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 27
dAdx
x
mM
GdxxFxA ==≈∆
2
)()( .
Работа
)(
11
)(
2
hRR
GmMh
hRR
GmM
x
GmM
x
dx
GmMdxxFA
R
hR
hR
R
hR
R
+
=
+
−=−===
+
++
∫∫
.
В то же время работа равна изменению кинетической энергии ракеты
2
2
12
mV
WWWA =−=∆=
.
Чтобы рассчитать вторую космическую скорость, которую надо сооб-
щить ракете у поверхности Земли для преодоления земного притяжения, нужно
положить
+∞=
h
.
Тогда
R
GmM
hRR
GmMh
A
h
=
+
=
∞→
)(
lim , а следовательно,
2
2
mV
R
GmM
=
.
Так как
0
2
g
R
GM
=
, то
)/(102,11)/(104,68,922
36
0
смсмRgV ⋅≈⋅⋅⋅==
.
Ответ.
Вторая космическая скорость
V≈
11,2
⋅
10
3
(
м/с
).
Задача 5.
Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы растянуть
пружину, находящуюся в положении равновесия, на 10
см
. Известно, что при
растяжении пружины на 1
см
сила натяжения равна 5
н
.
Решение.
Упругая сила, с которой действует пружина на тело, подчиня-
ется закону Гука, согласно которому
F=kx
, где
k
–
коэффициент пропорциональности, а
х
– удлинение
пружины. Из условия находим
k
.
Так как при растяжении на 1
см
=0,01
м
сила
натяжения равна 5
н
, то 5
н
=
k⋅
0,01
м
. Следовательно,
м
н
k
500
=
, F(x)=500
x
,
[]
1,0;0
∈x
.
Работа вычисляется по формуле:
∫
=
b
a
dxxFA
)(, т.е.
)(5,2)(5,201,0250250500
0
1,0
1,0
0
2
джнмxxdxA ==⋅===
∫
.
Задача 6.
Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать
воду из резервуара, имеющего форму усеченного конуса высотой
H
, если ради-
ус нижнего основания
r
, а верхнего
R, R>r
.
Рис. 26.
Амурский Государственный Университет                                                           27


                                                           mM
                                 ∆A( x) ≈F ( x)dx =G           dx =dA .
                                                            x2
             R +h                   R +h                   R +h
                            dx  GmM                                    1   1  GmMh
Работа A = ∫F ( x)dx =GmM ∫ 2 =−                                  =GmM  −     =          .
           R              R
                            x    x                          R          R R +h  R ( R +h)
В то же время работа равна изменению кинетической энергии ракеты
                                            mV 2
                                    A = ∆W =W2 −W1 =
                                                 .
                                              2
      Чтобы рассчитать вторую космическую скорость, которую надо сооб-
щить ракете у поверхности Земли для преодоления земного притяжения, нужно
положить h =+∞ .
                  GmMh GmM                         GmM mV 2
Тогда A =lim                =   , а следовательно,    =     .
            h → ∞ R ( R +h)   R                     R   2
          GM
Так как     2
              =g 0 , то V = 2 g 0 R = 2 ⋅9,8 ⋅ 6,4 ⋅10 6 ( м / с) ≈11,2 ⋅10 3 ( м / с) .
          R
        Ответ. Вторая космическая скорость V≈11,2⋅103 (м/с).



      Задача 5. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы растянуть
пружину, находящуюся в положении равновесия, на 10 см. Известно, что при
растяжении пружины на 1 см сила натяжения равна 5 н.
      Решение. Упругая сила, с которой действует пружина на тело, подчиня-
                         ется закону Гука, согласно которому F=kx, где k –
                         коэффициент пропорциональности, а х – удлинение
                         пружины. Из условия находим k.
                                Так как при растяжении на 1см=0,01м сила
                                    натяжения равна 5н, то 5н=k⋅0,01м. Следовательно,
                                            н
                                     k =500   , F(x)=500x, x ∈[0;0,1].
                                            м
               Рис. 26.             Работа вычисляется по формуле:
    b                     0 ,1                    0 ,1
A =∫F ( x)dx , т.е. A = ∫500 xdx =250 x       2
                                                         =250 ⋅ 0,01 =2,5(нм) =2,5(дж ) .
    a                      0                       0




       Задача 6. Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы выкачать
воду из резервуара, имеющего форму усеченного конуса высотой H, если ради-
ус нижнего основания r, а верхнего R, R>r.

Страницы