Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 32 стр.

Амурский Государственный Университет                                                        32

       Задача 2. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением:
         а) в явном виде; б) параметрически; в) в полярных координатах.

 №
 п/п
                       a)                                б)                     в)
                                        x =4(t −sin t ),
          a a  − 
             x   x
                a                    
2.1    y = e +e , 0 ≤x ≤1 .          y =4(1 −cos t ),                ρ =2(1 −cos ϕ ) .
          2       
                                           0 ≤t ≤2π .
                                                  t        2t
                                       x =2 R cos 3 +R cos 3 ,
                                                                       ρ =aϕ ,
2.2    y =ax 2 , 0 ≤x ≤1 .                         t     2t
                                        y =2 sin −sin ,
                                                  3      3             0 ≤ϕ ≤π .
                                              0 ≤t ≤2π .
                                       x =2 cos t −cos 2t ,              a
                                                                        ρ= ,
                                                                         ϕ
2.3    y =ln x , 1 ≤x ≤ 3 .             y =2 sin t −sin 2t ,
                                            0 ≤t ≤2π .                  ϕ0 ≤ϕ ≤2π .
                                                                                sin 2 ϕ
                                       x =4 cos t , 3
                                                                        ρ =2a           ,
2.4    y =e x , 0 ≤x ≤1 .                       3
                                                                                cos ϕ
                                        y =4 sin t.
                                                                         ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 .
          x2                           x = 2 sin t ,                   ρ =p(1 +cosθ ),
2.5    y=    , 0 ≤x ≤ 2 p .            
          2p                            y =cos t.                         0 ≤θ ≤2π .
                                       x =a cos t (1 −cos t ),         ρ =e aθ ,
2.6    y 2 =x 3 , 0 ≤x ≤4 .            
                                        y =a sin t (1 −cos t ).        0 ≤θ ≤π .
                                        x =e t sin t ,                              ϕ
2.7    y 2 = px , 0 ≤x ≤1 .                            0 ≤t ≤2π .      ρ =a sin 3     .
                                       y =e cos t ,                                 3
                                             t


                                                                              a
                                                                        ρ=         ,
                                        x =t ,  2                            π
               e x +1                                                    cosϕ − 
2.8    y =ln          , a ≤x ≤b .      y =t −1 t 3 , 0 ≤t ≤ 3 .              3
               e x −1                  
                                             3                                    π
                                                                          0 ≤ϕ ≤ .
                                                                                   2
                                        c2                                   a
                                        x = cos 3 t ,                   ρ=           ,
                       π     π         
                                                                               2 ϕ
2.9    y =ln sin x ,     ≤x ≤ .        
                                            a                               cos
                       2     3              c 2
                                                                                  2
                                        y = sin 3 t.
                                       
                                           b                            0 ≤ϕ ≤ϕ0 .
                                       x =(t 2 −2) sin t −2t cos t ,
               2x
       y = e −1 −arctg e −1 ,  2x
                                                                                    π
2.10                                              2
                                       y =(2 −t ) cos t +2t sin t ,    ρ =a cos 4     .
       0 ≤x ≤1 .                                                                     4
                                                0 ≤t ≤π .
                                                                             1
                                       x =e t (cos t +sin t ),         ρ=         ,
             x                                                         1 +cos ϕ
2.11   y =lncth  , a ≤x ≤b .         y =e (cos t −sin t ),
                                             t

             a                                                         π    π
                                               0 ≤t ≤π .                − ≤ϕ ≤ .
                                                                         2    2