Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 24 стр.

Амурский Государственный Университет                                            24


                           Пусть через t сек после истечения воды уровень
                           оставшейся воды в резервуаре был равен x м, а за
                           время dt сек понизился на dx м. Вычислим объем
                           воды, вытекающей за этот бесконечно малый
                           промежуток времени dt , двумя способами.
                                  Во-первых, этот объем dW равен объему
                           цилиндрического слоя высотой dx и радиусом
         Рис. 21.         основания r (r=2м). Таким образом, dW =π ⋅ r 2 dx .
       Во-вторых, этот объем равен объему цилиндра, основанием которого
                                       1
служит отверстие в дне резервуара ρ = м , а высота равна Vdt, где
                                      12
V – скорость истечения воды, т.е.
                          dW =πρ 2Vdt =0,6πρ 2 2 gx dt .
Приравнивая полученные выражения, получим
                              0,6πρ 2 2 gx dt =πr 2 dx .
                r2
Отсюда dt =             dx , где x ∈[0;6].
           0,6 ρ 2 2 gx
Интегрируя это равенство, получим время истечения воды
                    6                                      6
                         r2      dx      r2               10 r 2
               t =∫            ⋅    =           ⋅ 2 x   =    ⋅ 2.
                  0 0,6 ρ
                          2
                            2g    x 0,6 ρ 2 2 g       0    3g ρ
                                    1
Используя данные задачи: r=2 м, ρ = м , п =9,8 м       , получаем
                                   12            сек.2
t ≈1062сек. =17,7 мин .



                         §3. Задачи начал анализа

       Задача 1. С какой силой вода давит на вертикальный прямоугольный
шлюз с основанием 18 м и высотой 6 м?
       Решение. Сила, с которой вода давит на каждую точку, находящуюся на
высоте х от поверхности воды прямоугольного вертикального шлюза, равна
весу столба воды, находящегося над этим уровнем.
                                       Выделим элементарную площадь
                                шириной dх у шлюза на высоте х от
                                поверхности.
                                       Величина давления жидкости на
                                горизонтальную площадку зависит от глубины
                                ее погружения х, т.е. от расстояния площадки
          Рис. 22.              до поверхности жидкости : P = δ ⋅ Sx , где