Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 19
Задача 8.
Найти объем клина, отсекаемого от прямого кругового
цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом
α
к нему.
Решение.
Такое тело называется цилиндрическим
отрезком. Пусть цилиндр, о котором идет речь,
определяется уравнением
222
Ryx
=+
. Найдем
площадь сечения, перпендикулярного к оси О
х
.
Сечение – прямоугольный треугольник. Возьмем
на оси О
х
точку с абсциссой
х
,
Rx
<
. Площадь
сечения будет функцией от
х
:
NPMNxS
⋅=
2
1
)(, где MN – ордината точки N окружности
222
Ryx
=+
, а
следовательно,
22
xRMN
−=
,
αα
tgxRtgNPMN
⋅−=⋅=
22
.
22
2
1
)(
xRxS
+=⋅
()
2222
2
xR
tg
tgxR
−=⋅−
α
α
.
Переменная
х
изменяется от
–R
до
R
, поэтому по формуле (7) получаем
()
3
3
222
3
2
322
R
tgx
xR
tg
dxxR
tg
V
R
R
R
R
⋅=
−=−=
−
−
∫
ααα
,
т.е.:
3
3
2
RtgV
⋅=
α
куб.ед.
Задача 9.
Найти объем и боковую поверхность параболоида,
образованного вращением параболы
pxy
2
2
=
вокруг оси О
х
и ограниченного
плоскостью
х=Н
.
Решение.
Объем тела вычислим по формуле (8):
2
0
2
00
2
2
22
pH
x
ppxdxdxyV
H
HH
ππππ
=⋅===
∫∫
(куб.ед.)
Боковая поверхность определится по формуле (10
б
). Найдем сначала
2
1
y
′
+
,
входящий в эту формулу. Так как
pxy
2
2
=
, то
pxy
2
=
,
x
p
p
px
y
2
2
22
1
=⋅=
′
,
а
x
p
y
2
11
2
+=
′
+
. Следовательно,
=+=+⋅=
∫∫
HH
dxppxdx
x
p
pxS
0
2
0
22
2
122
ππ
−
+=
+=
2
3
2
3
0
2
3
223
24
23
24
pp
H
p
p
x
p
H
ππ
(кв.ед.).
Рис. 17.
Амурский Государственный Университет                                                     19


       Задача 8. Найти объем клина, отсекаемого от прямого кругового
цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания под углом α к нему.
       Решение.
Такое тело называется цилиндрическим
отрезком. Пусть цилиндр, о котором идет речь,
определяется уравнением x 2 +y 2 =R 2 . Найдем
площадь сечения, перпендикулярного к оси Ох.
Сечение – прямоугольный треугольник. Возьмем
на оси Ох точку с абсциссой х, x

Страницы