Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 17
Задача 4.
Найти площадь фигуры, лежащей вне круга
a
=
ρ
и
ограниченной кривой
ϕρ
3cos2
a=
.
Решение.
Так как функция
ϕρ
3cos2
a
=
имеет период
π
3
2
=T
, то при
изменении
ϕ
от
-
π
до
π
радиус-вектор
описывает три лепестка кривой. При этом
допустимыми для
ϕ
являются те значения, при
которых 03cos
≥
ϕ
, откуда
32
6
32
6
π
π
ϕπ
π
kk +≤≤+−
()
,...2,1,0
±±=k
.
Следовательно, один из лепестков описывается
при изменении
ϕ
от
6
π
−
до
6
π
.
Остальные два лепестка получаются при изменении
ϕ
от
2
π
до
π
6
5
и от
π
6
7
до
π
2
3
соответственно (рис. 16).
Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади S
MLNM
.
Найдем полярные координаты точек пересечения M и N. Для этого
решим уравнение
aa
=
ϕ
3cos2
, т.е.
2
1
3cos
=
ϕ
. Между
6
π
−
и
6
π
находятся
только корни
9
π
−
и
9
π
. Таким образом,
()
+=−⋅=−=
∫∫
−−
2
3
32
3
3cos4
2
1
333
2
9
9
2
9
9
22
π
ϕϕϕ
π
π
π
π
adadaSSS
OMNOOMLNOMLNM
.
Задача 5.
Найти длину цепной линии
+=
−
a
x
a
x
ee
a
y
2
между точками с
абсциссами
x=0
и
x=x
)0(
>
x
.
Решение.
Применяем формулу для вычисления длины дуги кривой,
заданной в явном виде.
()
∫
′
+=
b
a
dxxfL
2
)(1 .
Находим
−=
−=
′
−−
a
x
a
x
a
x
a
x
eee
a
e
a
a
xf
2
111
2
)(.
Рис. 16.
Амурский Государственный Университет                                           17


       Задача 4. Найти площадь фигуры, лежащей вне круга ρ =a и
ограниченной кривой ρ =2a cos 3ϕ .
                                                              2
       Решение. Так как функция ρ =2a cos 3ϕ имеет период T = π , то при
                                                              3
                              изменении ϕ от -π до π радиус-вектор
                              описывает три лепестка кривой. При этом
                              допустимыми для ϕ являются те значения, при
                              которых cos 3ϕ ≥0 , откуда
                                     π             π
                                   − +2kπ 3 ≤ϕ ≤ +2kπ 3 (k =0,±1,±2,...).
                                     6              6
                                   Следовательно, один из лепестков описывается
                                                        π     π
                                   при изменении ϕ от − до .
               Рис. 16.                                 6     6
                                                          π      5        7
Остальные два лепестка получаются при изменении ϕ от         до π и от π до
                                                           2     6        6
 3
   π соответственно (рис. 16).
 2
       Ясно, что искомая площадь равна утроенной площади SMLNM .
       Найдем полярные координаты точек пересечения M и N. Для этого
                                             1            π    π
решим уравнение 2a cos 3ϕ =a , т.е. cos 3ϕ = . Между − и           находятся
                                             2            6    6
                π      π
только корни − и          . Таким образом,
                9       9
                                    1 π9                    3 π9 2       
                                                                        2 π   3
3S MLNM =3(S OMLNO −S OMNO ) =3 ⋅    ∫ π 4 a 2
                                               cos 2
                                                     3ϕd ϕ − ∫           
                                                               π a dϕ =a  +
                                                                               .
                                                                               
                                    2 −9                    2 −9          3 2 


                                             a    − 
                                                x   x
                                                   a 
       Задача 5. Найти длину цепной линии y = e +e  между точками с
                                                a
                                             2       
абсциссами x=0 и x=x ( x >0) .

       Решение. Применяем формулу для вычисления длины дуги кривой,
                             b
заданной в явном виде. L =∫ 1 +( f ′( x) ) dx .
                                          2

                             a


                 a 1 a 1 −a      1      − 
                        x      x       x    x
Находим f ′( x) =    e   −  e   = e a −e a .
                 2a      a      2
                                   
                                              
                                              

Страницы