Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

АмГУ | Благовещенск

Составители: 

Рубрика: 

Амурский Государственный Университет 10
Задача состоит в определении площади
Q
поверхности, полученной от
вращения кривой AB вокруг оси О
x
. Если выделить элемент
ds
кривой, то его
приближенно можно принять за прямолинейный и вычислить соответствующий
ему элемент площади
dQ
как площадь усеченного конуса с образующей
ds
и
радиусами основания
y
и
y+dy
. Тогда
dS
dyyy
dQ
2
)(
2
++
=
π
.
Произведение
dydS
двух бесконечно малых надлежит отбросить. Мы придем к
линейной относительно
ds
формуле.
ydsdQ
π
2
=
. Откуда
∫
=
s
ydSQ
0
2
π
, (10)
где под
у
понимаем функцию )(
s
ψ
.
Если вернуться к общему параметрическому заданию кривой )(
tx
ϕ
=
,
)(
ty
ψ
=
()
Ttt ≤≤
0
, то, произведя в предшествующем интеграле замену
переменной, преобразуем его к виду
()()
∫
′
+
′
=
T
t
dttttQ
0
22
)()()(2
ψϕψπ
. (10а)
В частности, если кривая задана явным уравнением )(
xfy =
)(
bxa ≤≤
, то в
роли параметра оказывается
x
, будем иметь
()
∫
′
+=
b
a
dxxfxfQ
2
)(1)(2
π
. (10б)
Амурский Государственный Университет                                                      10


       Задача состоит в определении площади Q поверхности, полученной от
вращения кривой AB вокруг оси Оx. Если выделить элемент ds кривой, то его
приближенно можно принять за прямолинейный и вычислить соответствующий
ему элемент площади dQ как площадь усеченного конуса с образующей ds и
радиусами основания y и y+dy. Тогда
                                    y +( y +dy )
                            dQ =2π               dS .
                                         2
Произведение dydS двух бесконечно малых надлежит отбросить. Мы придем к
                                                                      s
линейной относительно ds формуле. dQ =2πyds . Откуда Q =2π ∫ydS ,                 (10)
                                                                      0

где под у понимаем функцию ψ (s) .
       Если вернуться к общему параметрическому заданию кривой x =ϕ(t ) ,
y =ψ (t )   (t 0 ≤t ≤T ), то, произведя в предшествующем интеграле замену
                                               T
переменной, преобразуем его к виду Q =2π ∫ψ (t ) (ϕ ′(t ) ) +(ψ ′(t ) ) dt .
                                                             2            2
                                                                                  (10а)
                                               t0

В частности, если кривая задана явным уравнением y = f (x) (a ≤x ≤b) , то в
                                                       b
роли параметра оказывается x, будем иметь Q =2π ∫f ( x ) 1 +( f ′( x) ) dx . (10б)
                                                                              2

                                                       a

Страницы