Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 8 стр.

Амурский Государственный Университет                                                     8


хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться.
       Доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые
получаются путем сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих
упомянутому предположению.
       В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело (V)
имеет объем, то он выражается формулой (7):
                                           b
                                     V =∫P( x)dx .
                                           a




                §4. Схема применения определенного интеграла

      Прежде чем перейти к применениям определенного интеграла в других
областях (механики, физики, техники и пр.), полезно уяснить себе тот путь, по
которому в прикладных вопросах обычно приходят к определенному интегралу.
      Предположим, что требуется определить некоторую постоянную
величину Q, связанную с отрезком [a, b]. При этом пусть каждому частичному
отрезку [α , β ], содержащемуся в [a, b], отвечает некоторая часть величины Q
так, что разложение отрезка [a, b] на частичные отрезки влечет за собой
разложение на соответствующие части и величины Q.
        Точнее говоря, речь идет о некоторой “функции от промежутка”
Q([α , β ]), обладающей свойством аддитивности, т.е., если отрезок [α , β ]
состоит из частичных отрезков [α , γ], [γ, β ], то Q([α , β ]) =Q([α , γ])+Q([γ, β ]).
Задача же состоит в вычислении ее значения, отвечающего всему отрезку [a, b].
       Для примера возьмем на плоскости кривую AB, заданную уравнением
y = f (x) (a ≤x ≤b ) (рис.8).
                                               Тогда: 1) площадь P криволинейной
 y                                             трапеции AA/B/B,
                                               2) длина L кривой AB,
                                               3) объем V тела, полученного от
                                               вращения этой трапеции вокруг оси
                                               OX, – все три являются величинами
                                               указанного типа.
                                               Рассмотрим “элемент” ∆Q величины
 0
                                       x       Q, отвечающий элементарному отрезку
                                               [x, x +∆x]. Исходя из условий задачи,
                                               стараются найти для ∆Q
                                               приближенное выражение вида q ( x)∆x ,
               Рис. 8.                         линейное относительно ∆x , – так,