Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики. Ляпунова М.Г. - 4 стр.

Амурский Государственный Университет                                                4


отрезке [α,β]. Разобьем отрезок [α,β] точками
                         α =θ0 <θ1 <... <θ i<θi +1 <... <θn =β
и проведем соответствующие этим углам радиусы-векторы. Обозначим через µi и
Mi наименьшее и наибольшее значения функции ρ(θ) на каждом из элементарных
отрезков [θi, θi+1] (i=0,1, ,n-1), круговые секторы, описанные этими радиусами,
будут соответственно входящими и выходящими для фигуры (P).
       Составим отдельно из входящих и выходящих секторов две фигуры, пло-
щади которых
                               1 n −1 2          1 n−1 2
                          σ=     ∑ i i
                               2 i =0
                                      µ ∆θ и ∑ =   ∑ M i ∆θi .
                                                 2 i =0
Эти суммы будут суммами Дарбу для интеграла
  β
1
2 α∫
    ρ 2 (θ )dθ , при стремлении к нулю λθ =max{∆θi } обе суммы имеют пределом
                                            i


этот интеграл, а следовательно, площадь сектора
                                               β
                                             1
                                        P=
                                             2α∫ρ 2 (θ )dθ .                  (3)

        Формула (1) может быть использована и в том случае, когда кривая, огра-
ничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически, т.е. уравнениями
x =ϕ (t ) , y =ψ (t ) ( t0 ≤t ≤T ).
       Произведя замену переменной в интеграле (1), получим (в предположении,
что x =a при t=t0 и x =b при t=T)
                                   T          T
                               P =∫yxt/ dt =∫ψ (t ) ⋅ϕ / (t )dt .
                                   t0         t0

Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметриче-
ского представления x =a ⋅ cos t , y =b ⋅sin t и учесть, что x возрастает от - a до a ,
когда t убывает от π до нуля, то найдем
                           0                             π
                    P =2 ⋅ ∫b sin t ⋅ (−a sin t )dt =2πab ∫sin 2 tdt =πab .
                           π                              0

Мы вычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили ее.

                     §2. Выражение длины дуги интегралом
       Рассмотрим на плоскости кривую AB, заданную параметрическими
уравнениями
                        x =ϕ (t ) , y =ψ (t ) ( t0 ≤t ≤T ),
где функции ϕ и ψ непрерывны на [t0,T] и на этом отрезке имеют непрерывные
производные ϕ/ и ψ/. Докажем, что кривая спрямляема при этих условиях и длина
дуги выражается формулой