Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Знакомство с физическими особенностями рассмотренных процессов убеждают, что для аналитического решения
задачи поперечного теплообмена при движении теплоносителя вблизи стенки необходимо иметь математическое описание
связей между параметрами в пределах пограничного слоя.
2.2.3 Дифференциальное уравнение теплоотдачи и другие
дифференциальные уравнения теплового пограничного слоя
Не во всякой игре тузы выигрывают!
К. Прутков
В
любом случае в слое жидкости, непосредственно соприкасающимся со стенкой тепло передается теплопроводностью
(поскольку этот слой неподвижен). Для этого слоя, используя закон Фурье, запишем
.
ж
ж
0
=
∂
∂
λ−=
n
n
t
q
Этот же удельный поток передается теплоотдачей и по закону Ньютона-Рихмана он равен
).(
сж
ttq
−
α
=
Приравнивая правые части этих формул, получаем дифференциальное уравнение теплоотдачи
),(
сж
ж
ж
tt
n
t
n
−α=
∂
∂
λ−
=0
откуда
.
ж
сж
ж
0
=
∂
∂
−
λ
−=α
n
n
t
tt
(2.46)
Полученная формула показывает: чтобы найти величину коэффициента теплоотдачи α, кроме свойств жидкости
необходимо знать и температурное поле внутри пограничного слоя, что позволит определить значения
t
ж
, t
с
и (dt
ж
/ дп)
п = 0
.
Если в первом приближении принять, что внутри пограничного слоя температура меняется по линейному закону, то в любом
месте слоя, в том числе и при
n = 0, величина производной будет одна и та же
,
ж
жж
∆
−
=
∆
∆
=
∂
∂
=
∂
∂
=
с
n
tt
t
n
t
n
t
0
где через ∆ обозначена толщина теплового пограничного слоя. Подставляя это в формулу (2.46), находим
,/
ж
∆λ=α
откуда следует очень важный вывод: величина α прямо пропорциональна теплопроводности жидкости и обратно
пропорциональна толщине пограничного слоя. Теперь становится понятным, почему на участке тепловой стабилизации
интенсивность теплоотдачи выше, чем на стабилизированном участке (потому что там пограничный слой тоньше).
Чтобы описать и найти температурное поле в движущейся жидкости, аналогично дифференциальному уравнению
теплопроводности на основе закона сохранения энергии выводится специальное дифференциальное уравнение –
дифференциальное уравнение энергии. Это уравнение учитывает и перенос тепла теплопроводностью, и накопление тепла в
элементарно малом объеме в результате изменения его теплосодержания при протекании через него потока теплоносителя.
По форме оно похоже на дифференциальное уравнение Фурье
,ta
n
t
w
t
2
∇=
∂
∂
+
τ∂
∂
(2.47)
однако содержит дополнительное слагаемое – конвективную составляющую, отражающую вклад конвекции в общий
тепловой баланс. Из уравнения (2.47) видно, что температурное поле в движущейся жидкости (или газе) зависит от ее
скорости, и при решении тепловой задачи необходимо одновременно решить задачу гидродинамическую, т.е. найти скорость
жидкости
w в любой точке потока.
Если к элементарно малому объему движущейся жидкости применить известный из механики принцип Даламбера
(сумма всех сил, действующих на тело, включая и силу инерции, взятую с обратным знаком, равна нулю), то можно
получить дифференциальное уравнение движения, которое в символьной форме можно представить в виде
,wpg
n
w
w
w
2
1
∇ν+∇
ρ
−=
∂
∂
+
τ∂
∂
(2.48)
где ∇р – оператор Гамельтона; g – ускорение силы тяжести; ∇
2
w – оператор Лапласа. Правая часть этого уравнения отражает
собою силу инерции (сумма локальной и конвективной составляющих), величина
g – силу веса, слагаемое ∇р – силу
давления, а последнее слагаемое – силу трения. Как видим, уравнение (2.48) содержит два неизвестных параметра:
w и р.
Поэтому уравнение движения всегда рассматривается совместно с другим уравнением гидродинамики – уравнением
неразрывности.
Дифференциальное уравнение неразрывности отражает закон сохранения массы применительно к элементарно малому
объему движущейся жидкости. В общем случае оно имеет вид
.
)(
0=
∂
ρ
∂
n
w
Для несжимаемых жидкостей (ρ = const) это уравнение упрощается:

Страницы