Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0=
∂
∂
n
w
или .0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
w
x
w
z
y
x
(2.49)
В итоге для несжимаемых жидкостей дифференциальные уравнения (2.46) – (2.49) составляют замкнутую систему,
содержащую четыре неизвестных:
а, t, w и р. Для газов и сжимаемых жидкостей величина ρ тоже войдет в список
неизвестных и система уравнений должна быть дополнена еще уравнением состояния:
zRTpv
=
или ,/ zRTp
=
ρ
где z – общий коэффициент сжимаемости; R – газовая постоянная.
Приведенная система дифференциальных уравнений описывает весь класс явлений конвективного теплообмена. Чтобы
решить некоторую конкретную задачу необходимо проинтегрировать уравнения, учитывая еще и условия однозначности
этой конкретной задачи. Формулирование этих условий гораздо сложнее, чем в задачах теплопроводности. Так, начальные и
граничные условия, например, должны быть заданы для каждого неизвестного параметра, а не только для температуры.
Из-за сильной зависимости вязкости от температуры уравнение (2.48) является нелинейным. Другие дифференциальные
уравнения тоже достаточно сложные. Поэтому аналитическое решение задачи путем интегрирования системы
дифференциальных уравнений в общем случае невозможно. Даже для самых простых задач, чтобы получить аналитическое
решение приходится вводить массу упрощающих предпосылок (например, что
v = const, движение равномерное и т.д.), которые
в итоге делают полученное решение приближенным и малодостоверным.
Поэтому приведенные дифференциальные уравнения обычно используют для
численного решения задач конвективного теплообмена [19]. Именно на их основе строятся
конечно-разностные аналоги для расчетов методом сеток. Большинство же важнейших
практических задач решены на основании экспериментальных исследований с привлечением
для организации опытов и обработки результатов этих экспериментов основ теории подобия.
2.3.4 Основы теории подобия
В сущности мы находим только то, что
нужно, видим только то, что хотим видеть
3. Фрейд
С
овременная наука предлагает исследователю три основных подхода для решения инженерных задач. Всегда
предпочтительно аналитическое решение, поскольку оно дает общий результат, удобный для расчетов и наглядно
отражающий влияние одних факторов на другие. Однако любая математическая модель, любые дифференциальные
уравнения всегда лишь в главном, в основном отражают свойства и особенности реального явления. Именно поэтому
достоверность и точность аналитического решения нуждаются в подтверждении экспериментами. К сожалению, как было
сказано выше, многие практические задачи аналитически неразрешимы.
Правильно поставленный эксперимент гарантирует достоверность результата. Однако это результат единичный, не
способный дать пищу для обобщений или прогнозирования изменений при изменении условий опыта. Поэтому всегда речь
ведется о проведении серии или многих серий опытов, что долго, трудоемко и дорого.
Численное решение задач на ЭВМ как бы объединяет оба предыдущих подхода, поскольку здесь оперируют с
математической моделью явления и получают единственное решение задачи, не обладающее, увы, ни общностью, ни
достоверностью результата. Однако при наличии программы не представляет трудностей провести множество численных
экспериментов (так еще по другому называют этот подход) и выявить важнейшие закономерности явления. Поэтому сегодня
такой подход получил самое широкое распространение, сделавшись самым мощным инструментом ученого и инженера.
При экспериментальных исследованиях обычно ставится задача установить количественную зависимость одного или
ряда определяемых параметров от величины других определяющих факторов. Чтобы сделать это, опыты проводят
отдельными сериями так, чтобы в каждой серии изменялся только один влияющий фактор, остальные же оставались бы
неизменными. При оптимальном планировании экспериментов от этого правила отступают, уменьшая число требуемых
серий. Однако всегда экспериментальное исследование связывается с большим числом отдельных экспериментов. Теория
подобия позволяет существенно сократить число необходимых опытов и обобщать их результаты в понятной и удобной для
практики форме.
Сущность подхода здесь простая: все явления одного класса (теплопроводность, конвекция и др.) делят на отдельные
группы подобных явлений, выявив особые признаки такого подобия. Далее из множества явлений каждой группы
экспериментально исследуют лишь малое число их, выявляя зависимости не между конкретными размерными величинами, а
между обобщенными, безразмерными числами подобия, количество которых всегда меньше, чем размерных параметров.
Результаты опытов обобщают в виде полуэмпирических формул, которые однако справедливы для всех явлений данной
группы.
Два явления считают подобными, если для всех одноименных параметров в любых сходственных точках и в
сходственные моменты времена имеют место соотношения
......,...,...
cba
k
C
c
C
c
C
c
k
B
b
B
b
B
b
k
A
a
A
a
A
a
==
′′
′
′
=
′
′
===
′′
′
′
=
′
′
===
′′
′′
=
′
′
= .
Здесь а, b, с, ... – параметры одного явления; А, В, С, ... – одноименные параметры другого явления; k
а
, k
b
, k
с
,... – константы
подобия; штрихами отмечены сходственные моменты времени. Сходственные точки находятся в геометрически подобных
местах. Сходственные моменты времени – это такие моменты, когда явления находятся в сходственных (аналогичных)
состояниях. Ведь в общем случае подобные явления могут протекать и не синхронно, как например колебания двух
маятников, показанных на рис. 2.39 в сходственных состояниях.
l
1
l
2
Рис. 2.39 Сходственные
состояния асинхронных
явлений

Страницы