ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
)(
cc
2222
444
rR
q
tR
q
tr
q
t
vvv
−
λ
+=
λ
++
λ
−=
.
Величину t
c
найдем, записав теплобалансовое уравнение для наружной поверхности стержня,
Q
v
= Q
α
или πR
2
lq
v
= 2πRlα (t
c
– t
ж
),
откуда после сокращений выражаем
.
жc
α
+=
2
v
Rq
tt
Температура на оси цилиндра (при r = 0) будет наибольшей:
.
жco
α
+
λ
+=
λ
+=
244
2
2
RR
qt
Rq
tt
v
v
2.2.12 Численное решение задач стационарной теплопроводности
А
налитическое решение задач теплопроводности возможно лишь для тел простой геометрической формы и при простейших
граничных условиях. На практике же иногда возникает необходимость определить температурное поле в телах более
сложной формы или при таких условиях однозначности, когда температура или условия теплообмена на поверхности тела
непостоянны, когда величина
λ существенно и нелинейно зависит от t, когда тело неоднородно и величина λ различна в
разных точках тела и по разным направлениям.
Чтобы перейти к численным методам, исследуемое тело мысленно разделяют на небольшие объемы простой формы
(чаще всего прямоугольной). При этом считают, что в пределах каждого такого объема свойства вещества, мощность
внутренних источников и температура остаются постоянными, а изменение температуры происходит скачками на границах
каждого объема. Другими словами непрерывный процесс теплопроводности заменяется некоторым дискретным процессом.
Центральные точки выделенных объемов (их называют узлами) образуют внутри тела пространственную сетку. Для
любого узла такой сетки на основе теплобалансовых уравнений или путем замены дифференциального уравнения
теплопроводности его конечно – разностным аналогом (от бесконечных приращений переходят к малым конечным
приращениям) можно получить алгебраические соотношения, в совокупности составляющие замкнутую систему уравнений,
для решения которой используются стандартные или специально разработанные методы. Изложенный подход называют
методом конечных разностей.
В качестве примера рассмотрим двумерное температурное поле, возникающее в однородной пластине толщиной
δ,
когда температуры на боковых поверхностях ее различны (см. рис. 2.21). Разделим пластину на элементарные
прямоугольники, нанося сетку с шагом
∆x по оси x и ∆y по оси y. Выделим узлы сетки вокруг одного из элементов, лежащего
внутри пластины, обозначая их номера вдоль оси
x индексом i, а вдоль оси y – индексом j.
Температурное поле такой пластины будет плоским, и дифференциальное уравнение для него принимает вид:
.0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
t
x
t
Производную
2
2
x
t
∂
∂
представим в виде
∂
∂
∂
∂
x
t
x
и заменим бесконечно малые приращения dt и dx малыми конечными
величинами
∆t и ∆x:
.
x
x
t
x
t
∆
∆
∆
∆
≈
∂
∂
2
2
Здесь отношение
∆t/∆x – величина, близкая к величине проекции температурного градиента на ось x, а выражение ∆(∆t/∆x)
представляет собою разницу между
∆t/∆x справа и слева от анализируемого узла. Выпишем значения этих отношений
x
tt
x
t
jiji
∆
−
=
∆
∆
+ ,,
прав
1
x
tt
x
t
jiji
∆
−
=
∆
∆
− ,,
лев
1
.
Значит
x
ttt
x
t
x
t
x
t
jijiji
∆
+−
=
∆
∆
−
∆
∆
=
∆
∆
∆
−+ ,,,
левправ
11
2
и далее
2
11
2
2
2
x
ttt
x
t
jijiji
∆
+−
≈
∂
∂
−+ ,,,
.
Аналогичные рассуждения для оси
у позволяют получить
2
11
2
2
2
y
ttt
y
t
jijiji
∆
+−
≈
∂
∂
−+ ,,,
.
В итоге дискретный аналог дифференциального уравнения (2.22) представляется в виде
.
,,,,,,
0
22
2
11
2
11
=
∆
+−
+
∆
+−
−+−+
y
ttt
x
ttt
jijijijijiji
(2.23)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- …
- следующая ›
- последняя »
