Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Это уравнение описывает связь между температурами соседних элементов для любого из внутренних узлов сетки. Для узлов,
выходящих за границы пластины, температура или известна (заданы ГУ-1), или может быть определена из уравнений,
описывающих ГУ. Таким образом, для всех
n (n = ij – n
кр
) неизвестных температур формула (2.23) дает n линейных
алгебраических уравнений. Эти уравнения заметно упрощаются, если принять
∆x = ∆y:
04
1111
=−+++
−+−= jijijijiji
ttttt
,,,,,
. (2.24)
Прежде чем говорить о методах решения полученной системы, отметим три важнейших свойства разностных схем:
аппроксимируемость, устойчивость и сходимость решения. Первое означает, что при
∆x → 0 и ∆y → 0, т.е. решение
системы алгебраических уравнений стремится к решению исходного дифференциального уравнения. Устойчивой называется
схема, для которой ошибки округления при уменьшении шагов
∆x и ∆y не приводят к большим искажениям решения.
Сходимость означает, что по мере уменьшения
∆x и ∆y решение системы все ближе сходится с истинным решением.
Сходимость выступает как следствие аппроксимируемости и устойчивости. Анализ различных конечно-разностных схем на
устойчивость и сходимость приведен в [18], [19].
Полученную систему уравнений решают обычно на ЭВМ методом прогонки или путем последовательного исключения
неизвестных (метод Гаусса), о которых речь пойдет позже, теперь же рассмотрим другой оригинальный метод – метод
релаксаций. Суть этого метода в следующем. Сначала в узлах сетки записывают ожидаемые, интуитивно выбранные
значения температур. Конечно они не будут удовлетворять уравнению (2.24) и вместо равенства нулю в каждом узле сетки
мы будем получать некоторый остаток
R
o
:
jijijijiji
tttttR
,,,,,о
4
1111
−
+
+
+
=
−+−+
.
Величина R
o
говорит о том, насколько правильно были выбраны значения температур в окрестностях каждого узла в первом
приближении.
Найдем значения
R
o
для всех узлов. Там, где величина R
o
окажется наибольшей, температуры были выбраны наименее
удачно и именно для этого узла надо их скорректировать. Для этого наибольшее
значение
R
o
делим на четыре части и результат добавляем к остаткам четырех соседних
узлов. После этого остаток в рассматриваемом узле станет равен нулю, но изменятся
остатки соседних узлов. Вновь просматривая все остатки, снова выбираем узел, где
остаток наибольший и повторяем процедуру сглаживания остатков в этом узле.
Повторяя такое сглаживание до тех пор, пока все остатки не станут равными нулю
(точнее – некоторой относительно небольшой величине), приходим к решению задачи.
Модификацией этого метода, наиболее удобной для реализации на ЭВМ,
является метод Зейделя, где выравнивание остатков ведется не для узлов с
наибольшим
R
о
, а поочередно, от первого к последнему. При этом для расчета
температуры в последующем приближении используют значение температуры в том
же узле, но рассчитанное в предыдущем приближении. Более подробно описание
этого метода приведено в [20].
2.2.13 Процессы нестационарной теплопроводности
Все подчиняется времени, однако
время не подчиняется никому
.
М
. Арсанис
Р
анее уже было отмечено широкое распространение нестационарных процессов и важность их для практики. В отличие от
предыдущих задач, здесь фактор времени является одним из определяющих и часто задача состоит в том, чтобы определить,
как изменяется температура в той или иной точке тела с течением времени, сколько при этом передавалось тепла. Несмотря
на множество методов и подходов, разработанных для решения нестационарных задач (см. [21], [22]), аналитические
решения получены только для тел простой формы и для простейших ГУ. Очень часто такие решения содержат
табулированные корни отдельных трансцендентных уравнений или значения
специальных функций.
Чтобы познакомиться с некоторыми качественными особенностями нестационарных
процессов, рассмотрим термограммы (так называют зависимости
t = f (τ)) для двух точек
равномерно прогретого тела, которое быстро погружают в более холодную жидкую или
газообразную среду. Такие термограммы приведены на рис. 2.22. В начальный
момент времени температура на поверхности тела
t
п
и в его центре t
ц
одинаковы. С
началом процесса эти температуры изменяются по-разному, темп их уменьшения
различен и по мере охлаждения уменьшается. Постепенно обе температуры
выравниваются, приближаясь к
t
ж
, и теплообмен прекращается. Интересно, что по мере
удаления от поверхности изменение температуры все более отстает от изменения
температуры на поверхности. Величина такой задержки различна на различных этапах
процесса и зависит от коэффициента температуропроводности, расстояния от поверхности и ГУ. Наибольшая задержка – в
центре тела.
Естественно, что тепловые потоки в теле, в частности через его поверхность, не остаются постоянными, а меняются в
течение процесса, как показано это на рис. 2.23. Количество тепла
Q
*
, отдаваемое телом до момента времени τ определится
величиной интеграла
∫
τ
τ=
0
dQQ
п
*
, равной величине заштрихованной площади.
t
п
t
ц
t
ж
τ
к
τ
0
τ
t
Рис. 2.22 Термограммы
охлаждения тела
Q
п
τ
0
1
τ
τ
Рис. 2.23 Тепловой поток
через поверхность тела

Страницы