Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Изучение термограмм различных процессов показало, что на первой стадии ход изменения температуры существенно
зависит от первоначального распределения температуры в теле. Однако с течением времени процесс переходит в другую
стадию, когда первоначальная неравномерность температурного поля успевает сгладиться и перестает влиять на характер
изменения температуры. Эту вторую стадию называют регулярным режимом, а первоначальную стадию, длительность
которой составляет примерно 0,1 … 0,3 всей продолжительности процесса, называют нерегулярным режимом.
Чтобы выявить основную особенность регулярного режима, будем считать, что тело настолько теплопроводно, что
распределение температуры в нем практически равномерно и изменяется она только по времени и за время
dτ температура
тела изменяется на величину –
dt.
Запишем теплобалансовое уравнение, учитывая, что все передаваемое телом тепло отдается теплоносителю в
результате уменьшения теплосодержания этого тела:
.)(
ж
dtcVdFtt ρ−=τ
−
α
(2.25)
Здесь α – коэффициент теплоотдачи на поверхности исследуемого тела; F, V – поверхность и объем; ρ, c – плотность и
удельная теплоемкость тела. Заметив, что
dt = d (t – t
ж
), формулу (2.25) перепишем по другому
.
)(
ж
ж
tt
ttd
d
Vpc
F
−
−
=τ
α
−
В результате получено простое дифференциальное уравнение, интегрирование которого дает:
Cttm
p
+
−
=
τ
−
)ln(
ж
,
где
))/((
cp
VpFm α=
– коэффициент пропорциональности, называемый темпом охлаждения (или темпом нагревания, когда t
ж
> t); C – некоторая произвольная постоянная, определить которую можно из условий однозначности.
Потенцируем полученную формулу
С
m
ette
p
)(
ж
−=
τ−
и представляем результат в виде
τ−
+=
p
m
Aett
ж
.
Здесь величина )exp( CA −= представляет собою тоже некоторую константу. Полученная формула описывает основную
особенность регулярного режима: с течением времени температура в любой точке тела изменяется по закону экспоненты. В
различных точках различны только константы
A.
Для тел простой формы сопоставлением приведенной формулы и результатов аналитического решения для
характерных точек определены формулы, позволяющие рассчитать темп охлаждения
m
p
для любого случая, т.е. и тогда,
когда температуропроводность тела невелика и процесс теплопроводности сопровождается сложным распределением
температуры в теле.
Выявленная особенность регулярного режима лежит в основе многих экспериментальных методов определения
коэффициентов теплопроводности и температуропроводности, когда по экспериментальной термограмме находят темп
охлаждения
m
p
, и по его величине – значения коэффициентов λ и α.
2.2.14 Общее решение дифференциального уравнения
теплопроводности
И
з всего множества методов решения задач теплопроводности рассмотрим подробнее метод непосредственного
интегрирования путем разделения переменных (метод Фурье). При этом ради упрощения ограничимся анализом
одномерного нестационарного температурного поля, для которого дифференциальное уравнение теплопроводности
запишется в виде
.
2
2
x
t
a
t
∂
∂
=
τ∂
∂
(2.26)
Решение
t = (x, τ) будем искать в виде произведения двух функций ϕ и ψ, причем первая из них зависит только от τ, а вторая –
только от
x:
.)()( xt ψ
τ
ϕ
=
(2.27)
Продифференцируем формулу (2.27), определив производные
τ
∂
∂
/t и
22
dxtd /
;ψ
τ∂
ϕ∂
=
τ∂
∂t
;ϕ
∂
ψ
∂
=
∂
∂
t
ϕ
∂
ψ∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
x
x
t
x
x
t
и подставим полученные значения в уравнение (2.26):
ϕ
∂
ψ∂
=ψ
τ∂
ϕ∂
2
2
x
a
или
.
2
2
111
x
a
∂
ψ∂
ψ
=
τ∂
ϕ∂
ϕ
(2.28)
Теперь левая часть приведенной формулы зависит только от τ, а правая – только от x. Для некоторого фиксированного
момента времени
τ величины ϕ и τ∂ϕ∂ / принимают некоторые численные значения и левая часть формулы (2.28)

Страницы