Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Запишем теперь дифференциальное уравнение ГУ-3:
.)(
ж
δ=
∂
∂
λ−=−α
x
x
t
tt
С учетом соотношений
ж
tt −=Θ и Θ= ddt его можно представить в виде
δ=δ=
∂Θ
∂
λ
−
=
Θ
α
xx
x)/( . (2.34)
Дифференцируя (2.33), найдем частную производную
)sin()exp( δ−τ−=
∂
Θ∂
δ=
kkakA
x
x
2
.
Подставим выражения для
δ=
Θ
x
и
δ=
∂Θ∂
x
x)/( в формулу (2.34):
.)sin()exp(cos)exp( δ−τ−λ−=δτ−α kkakAkakA
22
После сокращений и простейших преобразований получаем трансцендентное уравнение, содержащее одну неизвестную –
величину
k:
α
λ
=δ
k
kctg .
Прежде чем перейти к решению этого уравнения, обычно его видоизменяют следующим образом:
.ctg
λ
αδ
δ
=
αδ
δ
λ
=δ
kk
k
Безразмерный комплекс (αδ) / λ, характеризующий собой отношение термических сопротивлений в зоне контакта тела с
жидкостью, называют числом Био. Эта величина в обобщенной форме фиксирует ГУ-3 и определяет подобие процессов
теплопроводности (более подробно о подобии явлений и о числах подобия будет рассказано позже). Обозначим
µ
=
δ
k и
(
αδ) / λ = Bi. Тогда предыдущее уравнение примет вид
µ=µ
Bi
ctg
1
. (2.35)
На рис. 2.25 приведено графическое решение этого уравнения для некоторого конкретного значения числа Bi. Из
рисунка видно, что уравнение (2.35) имеет бесконечное множество корней,
µ
1
, µ
2
, µ
3
, причем с увеличением номера корня i
величина его стремится к пределу (
i – 1) π. Значения корней µ
i
рассчитаны численным методом на ЭВМ для любых
значений числа Bi и приведены в технической литературе [22]. Реализация ГУ-3 позволила нам определить множество
констант разделения
)./( δµ=
iii
kk Теперь любое частное решение в соответствии с формулой (2.33) принимает вид
δ
µ
µ
δ
τ
−=Θ
xa
A
iiii
cosexp
2
, i = 1, 2, 3, ...
а общее решение определится суммой этих частных решений:
)cos()Foexp( XA
ii
i
i
i
i
µµ−=Θ=Θ
∑∑
∞
=
∞
=
2
11
,
где для краткости обозначено: δ
=
/xX – безразмерная относительная координата точки;
2
δατ= /)(Fo – значение числа
Фурье, определяющее сходственные моменты времени у подобных явлений.
Значения произвольных постоянных
A
i
найдем, реализуя начальные условия. При τ = 0 Θ = Θ
0
и предыдущая формула
принимает вид
)cos( XA
i
i
i
µ⋅⋅=Θ
∑
∞
=
1
1
0
. (2.36)
Функция )cos( X
i
µ – это функция четная, т.е. )cos()cos( XX
ii
µ
−
=
µ , а такие функции обладают свойством ортогональности,
которое записывается для нашего случая так:
==µ
≠
=µµ
∫
∫
−
−
1
1
2
1
1
0
inmdXX
nm
dXXX
i
nm
при)(cos
при
)cos()cos(
.
Чтобы воспользоваться этим свойством, умножим почленно уравнение (2.36) на dXX
i
)(cos µ и проинтегрируем
правую и левую части в пределах от –1 до 1 (
x меняется от –δ до + δ):
∫
∑
∫
−
=
−
µ
µ=µΘ
1
1
1
1
1
0
.)(cos)(cos)(cos dXXXAdXX
ii
n
i
ii
В правой части все слагаемые суммы, кроме
i-гo, равны нулю, поэтому уравнение упрощается:

Страницы