Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

∫∫
−−
µ=µΘ
1
1
2
1
1
0
.)(cos)(cos dXXAdXX
iii
(2.37)
Находим теперь значения полученных табличных интегралов
[]
.sin)sin(sin)sin()cos(
i
i
ii
i
i
i
i
XdXX µ
µ
=µ−µ
µ
=µ
µ
=µ
∫
−
−
211
1
1
1
1
[]
.
)sin(
)(sin)(sin
)(sin)(cos
i
i
ii
i
i
i
i
XXdXX
µ
µ
+=µ−−µ
µ
+=
=µ
µ
+=µ
−−
−
∫
2
2
122
4
1
1
2
4
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
Далее из уравнения (2.37) находим неизвестную постоянную A
i
:
.
sin
sin
µ
µ
+µ
µ
Θ
=
i
i
i
i
i
A
2
2
1
2
0
Таким образом, общее решение в окончательном виде будет
.)(cos)Fo(exp
sin
sin
X
i
i
i
i
i
i
µµ−
µ
µ
+µ
µ
Θ=Θ
∑
∞
=
2
1
0
2
2
1
2
(2.38)
Еще раз отметим, что бесконечный ряд с увеличением τ (растет число Fo) быстро сходится, поэтому даже при точных
расчетах учитывают только три – четыре первых слагаемых этого ряда. При Fo > 0,3 с погрешностью не более 5 % всю
сумму можно заменить одним первым слагаемым.
Расчет температуры в любой точке стенки по формуле (2.38) достаточно трудоемок. Поэтому в инженерной практике
для решения отдельных задач (при
x = 0, X = 0 и x = δ, X = 1) пользуются специальными номограммами, где зависимости Θ
~
=
f (Bi, Fo, X) представлены графически (
0
/
~
ΘΘ=Θ – безразмерная температура).
Полученные результаты можно использовать и для решения задач нестационарной теплопроводности пластин при
двумерном или трехмерном температурном поле. При этом используется принцип суперпозиций (наложения полей) и легко
доказывается теорема о перемножении решений, в соответствии с которой температурное поле ограниченного
параллелепипеда, например, определяется произведением
zyxzyx
ΘΘΘ=Θ
~
~
~
~
,,
,
где
Θ
~
x
, Θ
~
y
, Θ
~
z
– относительные температуры, рассчитанные отдельно для каждой бесконечной стенки, которые
получаются, если мысленно продолжать соответствующую пару параллельных граней.
2.2.16 Метод источников теплоты
Мгновенно сердце молодое горит и гаснет
В нем любовь проходит и приходит вновь
А
. С. Пушкин
Ч
асто теплопроводность возникает от действия на поверхности или внутри тела различных источников (или стоков) тепла.
Температурное поле, возникающее под действием мгновенного точечного источника внутри неограниченного тела
описывается выражением, которое является другим фундаментальным решением дифференциального уравнения
теплопроводности:
,exp
)(
/
*
ατ
−
πταλ
=Θ
4
4
2
23
RQ
(2.39)
где
00
ttt ;−=Θ – начальная температура тела; Q
*
– количество выделяемого источником тепла;
2
и
2
и
2
и
)()()( zzyyxxR −+−+−= – расстояние между источником тепла ),,(
иии
zyxI и исследуемой точкой ),,( zyxM . В
справедливости этого решения легко убедиться, дифференцируя формулу (2.39) и подставляя полученные выражения в
дифференциальное уравнение теплопроводности, которое в результате превращается в тождество.
Фундаментальное решение (2.39) позволяет для очень многих случаев записать функцию (в виде интеграла),
удовлетворяющую дифференциальному уравнению теплопроводности, т.е. решить задачу.
Три основные принципа помогают реализовать идею конструирования решений на основе формулы (2.39):
1 Источник любой формы, действующий мгновенно, циклически или непрерывно, неподвижный или движущийся
можно представить как некую систему точечных мгновенных источников тепла (принцип конструирования источников).

Страницы