Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ный поток по направлению D от источника j
2
. Результирующее действие этих потоков (если их мощности одинаковы)
оказывается эквивалентным предыдущему потоку по направлению
C (в результате векторного сложения потоков B и D).
Исходя из принципа суперпозиций, избыточную температуру в некоторой точке
),,( zyxM внутри тела можно описать
суммой
)()(
ннп.пр 21
JJ Θ+Θ=Θ
,
где избыточные температуры )(
н 1
JΘ и )(
н 2
JΘ в точке M от одного и от другого источника для неограниченного
пространства определяются по формуле (2.39).
В приведенном примере мы по сути рассматривали ГУ-2 при
q = 0. Если заданы ГУ-1 (Θ
п
= 0), то, чтобы получить на
линии
AA постоянную температуру, нужно нагрев поверхности от действия источника тепла j
1
скомпенсировать
охлаждением ее симметрично расположенным стоком тепла
j
2
такой же мощности )(
**
12
QQ −= . Значит при ГУ-1 для точки M
будем иметь
)()(
нп.п 21
JJ
Θ
−
Θ
=
Θ
.
Для тел сложной формы принцип отражения источников приходится применять неоднократно, дополняя тело до
неограниченного пространства. На рис. 2.29 показана схема дополнений для бесконечного клина с углом при вершине 60° и
теплоизолированными боковыми гранями. Понятно, что
.)(
нкл
∑
=
Θ=Θ
6
1i
i
J
2.2.17 Численное решение нестационарных задач теплопроводности
Е
ще раз отметим, что все численные методы основаны на допущении возможности без внесения существенных погрешностей
заменять непрерывный в пространстве и во времени процесс некоторым дискретным,
скачкообразным процессом. При расчетах нестационарных процессов, в частности, считают,
что температура в любой точке тела в течение некоторого промежутка времени остается
неизменной, а в начале каждого следующего промежутка меняется скачкообразно, принимая
новое значение.
Для решения задач обычно и здесь используется метод сеток, теперь уже
пространственно-временных. В качестве примера рассмотрим процесс нестационарной
теплопроводности неограниченной пластины при ГУ-1, когда температуры поверхностей
t
c1
и
t
c2
не постоянны, а заданы как некоторые функции времени:
)();(
2c21c1
τ
=
τ
=
ftft .
Мысленно разделим пластину на несколько тонких слоев толщиной ∆x и будем
считать, что в пределах каждого слоя температура характеризуется величиной
t
i, k
, где
i – номер слоя )...,,,( ni 21
=
, k – номер текущего интервала времени ∆τ (k = 0, 1,
2,...). Для некоторого момента времени
k
τ
∆
=
τ
действительное распределение
температуры в теле заменим ступенчатым распределением ее по отдельным слоям
(см. рис. 2.30). Тогда температурное поле, представляющее совокупность всех
значений температур
t
i, k
, можно отразить при помощи пространственно-временной
сетки с шагами
∆x и ∆y, представленной на рис. 2.31.
Некоторые узлы этой сетки известны по условиям однозначности
ГУ слева: )(
,
kft
k
τ
∆
=
10
, k = 0, 1, 2, 3, ...;
ГУ справа: )(
,
kft
kn
τ∆=
2
, k = 0, 1, 2, 3, ...;
НУ:
)(
,
ixft
i
∆=
30
, i = 1, 2, …, n – 1.
Дифференциальное уравнение теплопроводности одномерного температурного поля при переходе от бесконечно малых
к малым конечным приращениям принимает вид
.
∆
∆
∆
∆
=
τ∆
∆
x
t
x
a
t
Здесь
x
tt
x
t
x
tt
x
t
tt
t
kikikikikiki
∆
−
=
∆
∆
∆
−
=
∆
∆
τ∆
−
=
τ∆
∆
+−+ ,,
пр
,,
лев
,,
;;
111
и далее
.
,,,
левпр
2
11
2
1
x
ttt
x
t
x
t
xx
t
x
kikiki
∆
+−
=
∆
∆
−
∆
∆
∆
=
∆
∆
∆
∆
−+
В результате алгебраический аналог дифференциального уравнения будет
.
,,,,,
2
111
2
x
ttt
a
tt
kikikikiki
∆
+−
=
τ∆
−
−++
x
Рис. 2.30 Температурное поле при
сложных ГУ
1
•
t
ki
x
τ
0
2...
i
n
δ
Рис. 2.31
Пространственно-
временная сетка

Страницы