Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Приведенная формула связывает между собой четыре соседние в пространстве температуры по схеме, приведенной на
рис. 2.32, которую называют расчетным шаблоном явной схемы. Если начинать расчет с
i = 1 и k = 0, то эта схема (или
формула (2.41), соответственно) будет содержать только одну неизвестную
t
1,1
. Определив ее, шаблон сдвигают вправо на
шаг и рассчитывают следующую температуру
t
1,2
и т.д. В итоге последовательно определяются все температуры сначала
первого временного слоя (
k = 1), затем второго (k = 2) и т.д. Недостатком явной схемы является необходимость
определенным образом ограничивать шаги
∆τ и ∆x, поскольку доказано, что решение бывает устойчивым только при
условии
.,)/(50
2
≤∆τ∆ xa
Конечно-разностный аналог можно построить и для другого расчетного шаблона (неявная схема), приведенного на рис
2.33. В такой схеме используются значения температур в соседних точках, но не для одного, а для соседних интервалов
времени. Алгебраический аналог дифференциального уравнения при этом принимает вид
.
,,,,,
2
111111
2
x
ttt
a
tt
kikikikiki
∆
+−
=
τ∆
−
+−++++
(2.42)
Отметим, что формула (2.42) по структуре идентична формуле (2.41), но правая часть ее рассчитана для )(1
+
k -го интервала
времени. Для решения задачи формулу (2.42) записывают последовательно для всех узлов сетки в результате чего
получается замкнутая система алгебраических уравнений, которую решают обычно методом прогонки.
Чтобы понять суть и особенности этого метода, проведем сначала несложные преобразования, записав формулу (2.42) в
виде
)(
,,,,,11111
2
1
2
+−++++
+−
∆
τ
∆
=−
kikikikiki
ttt
x
a
tt
и сгруппировав подобные члены по возрастанию номера i:
ikiikiikii
DtCtBtA =++
++++− 11111,,,
, (2.43)
где ради сокращения введены обозначения
2
x
a
A
i
∆
τ∆
=
;
+
∆
τ∆
−=
12
2
x
a
B
i
;
2
x
a
C
i
∆
τ
∆
= ;
kii
tD
,
−=
.
В качестве примера по соотношению (2.43) выпишем систему уравнений для временного слоя при k = 1 и n = 5,
расставляя температуры с одинаковыми индексами друг под другом и дополняя уравнения нулями
.,,,
;,,,
;,,,
,,,
:
:
:
;:
4154144134
3143133123
2132122112
1121111101
0004
0003
0002
0001
DtCtBtAi
DtCtBtAi
DtCtBtAi
DtCtBtAi
=+++++=
=+++++=
=+++++=
=+++++=
Отметим, что величины t
0,1
и t
5,1
известны из граничных условий, известны и значения D
1
, D
2
, D
3
, D
4
, поскольку температуры
30201000,,,,
,,, tttt и t
0,4
известны из начальных условий. Слои с номерами i = 0 и i = n неизвестных не содержат, поскольку
эти температуры известны из граничных условий. В результате убеждаемся, что записанные четыре уравнения содержат
четыре неизвестных:
131211,,,
,, ttt
и t
4,1
. Аналогичная трехдиагональная система может быть получена для любого значения
n, а последовательное решение таких систем для k = 1, 2, ... позволяет найти значения температур во всех узлах сетки.
Доказано, что неявная схема всегда устойчива и это позволяет делать расчеты с достаточно крупными шагами
∆x и ∆τ.
Метод прогонки основан на допущении, что между соседними узлами температура меняется по линейному закону.
Тогда для двух соседних (в пространстве) точек сетки можно записать
,
,, ikiiki
FtEt +=
+++ 111
(2.44)
где E
i
и F
i
– некоторые неизвестные пока константы (их называют прогоночными коэффициентами), свои для каждого слоя с
номером
i. Для предыдущего по порядку слоя с номером i – 1 формула (2.44) запишется в виде
1111 −+−+
+=
ikiiki
FtEt
,,
.
Подставим теперь это значение температуры в формулу (2.43)
ikiikiiiikii
DtCtBFAEA
=
+
+
+
+++−+− 111111,,,
)(
и сгруппируем подобные члены, переписав предыдущую формулу так:
11111 −++−+
−+−=+
iiikiiiiiki
FADtCEABt
,,
)(
.
Отсюда находим
1
1
111
1
−
−
+++
+
−
+
−+
=
iii
iii
ki
ii
i
ki
EAB
FAD
t
EiAB
C
t
,,
. (2.45)
Сопоставляя теперь формулы (2.44) и (2.45), видим, что прогоночные коэффициенты можно рассчитать по
рекуррентным формулам:
)/(
1−
+
=
iiiii
EABCE ;
)/()(
11 −−
+
−
=
iiiiiii
EABFADF .

Страницы