Теоретические основы теплотехники. Ляшков В.И. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2 Температурное поле от каждого точечного источника накладывается на поля других источников и результирующая
температура в любой точке тела определяется суммой температур от каждого источника (принцип суперпозиции
температурных полей).
3 Процесс распространения тепла в телах ограниченных размеров можно представить как процесс теплопроводности в
неограниченном теле, если фактически действующие источники дополнить некоторой системой фиктивных источников или
стоков (принцип отражения источников).
Для иллюстрации применения этих принципов рассмотрим решение ряда конкретных задач.
Пусть требуется найти температурное поле в неограниченном теле при действии в нем мгновенного линейного источника
тепла, расположенного параллельно оси
z
(см. рис. 2.26). Такой источник можно представить как множество одновременно
вспыхивающих мгновенных источников тепла, расположенных на линии
AB. Температурное поле каждого источника
описывается формулой (2.39). В результате суперпозиций температура в любой точке тела определится суммой
.exp
)(
/
*
млн
τ
−
πτλ
=Θ
∑
=
a
R
a
Q
n
i
4
4
2
1
23
(2.40)
Интенсивность линейного источника обычно характеризуют количеством тепла, выделяемого на один метр его длины
*
l
Q
.
Если длина точечного источника
∆z, то zQQ
l
∆=
**
. Подставим это выражение в формулу (2.40), одновременно устремляя ∆z к
нулю, a
n – к бесконечности. Тогда, вспоминая из математики определение интеграла, можем записать
=
τ
−
πτλ
=Θ
∫
∞=
−∞=
dz
a
R
a
Q
z
z
l
4
exp
)4(
2
2/3
*
млн
=
τ
−
−
τ
−+−
−
πτλ
=
∫
∞=
−∞=
dz
a
zz
a
yyxx
a
Q
z
z
ииl
44
4
2
22
23
)(
exp
)()(
exp
)(
и
/
*
τ
−+−
−
πλτ
=
a
yyxx
Q
l
44
22
)()(
exp
ии
*
.
Здесь ради сокращения чисто математическая задача определения интеграла не рассматривалась, а приведен сразу конечный
результат преобразований.
Другая задача: в неограниченном теле параллельно оси
z со скоростью w
и
движется непрерывно действующий
точечный источник тепла и требуется определить создаваемое им температурное поле. Такой источник можно представить
как множество мгновенных точечных источников, расположенных на линии
AB (рис. 2.26) и действующих, как в
праздничных гирляндах, поочередно друг за другом в моменты времени
τ
0
= 0, τ
1
, τ
2
, τ
3
... . От каждого такого источника
будет возникать температурное поле, описываемое формулой
τ
−
πλτ
=Θ
п
и
*
exp
a
R
Q
l
i
44
2
,
где τ
п
= τ – τ
i
– продолжительность процесса распространения тепла от момента вспышки τ
i
до текущего момента времени
(именно так определялась величина
τ в формуле (2.39)); R
и
– расстояние от точки вспышки до исследуемой точки
пространства. Для разных моментов времени
τ
i
это расстояние будет различным, поскольку координата z
и
источника
меняется, принимая значения
пии
τ= wz . Значит
∫
−+−+−=
b
a
zzyyxxR
222
)()()(
ииии
.
Естественно, что результирующая температура определится суммой всех t
i
, а если перейти к бесконечно малым
промежуткам времени между вспышками
τ
=
τ−τ
+
d
ii 1
– то величиной интеграла
τ
τ
−
πλτλ
=Θ
∫
τ
d
a
R
a
Q
i
в
/
в
пн
exp
)(
*
4
4
2
0
23
.
Вопрос о вычислении полученного определенного интеграла оставим без рассмотрения, понимая, что эта математическая
задача всегда может быть решена, в крайнем случае – численным методом.
Далее рассмотрим подробнее принцип отражения источников.
Пусть внутри полуограниченного тела находится мгновенный точечный
источник
j
1
(рис. 2.27). Наружная поверхность AA теплоизолирована, т.е.
не пропускает и не отражает тепло. После вспышки источника тепло
будет передаваться по всем направлениям, включая и некоторое
направление
B. Однако, достигнув поверхности тела этот поток изменит
направление и пойдет вдоль поверхности
AA.
Удалим мысленно теплоизоляцию, заменив ее таким же полуограниченным телом с источником
j
2
, являющимся
зеркальным отражением источника
j
1
(см. рис. 2.28). В такой системе тел рассмотренный ранее поток продолжит
распространение по направлению
B уже во втором теле. Одновременно в первом теле будет распространяться симметрич-
A
A
B
C
J
1
•
Рис. 2.27 Источник тепла в полуограниченном теле

Страницы