Теоретические основы теплотехники - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

и, следовательно,
.),,( TpfU
ρ
=
(1.7)
Внутренняя энергия – величина аддитивная, при делении системы на части она разбивается про-
порционально массам частей. Таким же свойством обладают и другие термодинамические величины (за
исключением потенциалов). Поэтому термодинамический анализ принято проводить на единицу массы
системы, при этом вводятся удельные величины: u =U / m, q =Q / m, l = L / m, s = S / m, v = V / m. По-
следнюю называют удельным объемом и рассматривают как один из параметров состояния системы.
Отметим, что ρ =1 / v. С учетом этого формулу (1.7) перепишем в виде
),,( Tvpfu
=
и еще раз подчеркнем, что величина внутренней энергии определяется только значениями параметров со-
стояния и родом рабочего тела. Она не зависит от того, каким путем было достигнуто это состояние. При
совершении элементарно малого процесса внутренняя энергия будет изменяться на величину du в зави-
симости от изменений параметров р, v и Т.
В термомеханической системе внутреннюю энергию можно обнаружить только в форме работы или
тепла. В первом случае следует теплоизолировать систему, и дать ей возможность расширяться, поме-
щая в среду с более низким давлением. Во втором случае нужно зафиксировать объем системы (тогда
работа не сможет совершаться) и дать ей возможность охлаждаться. Тогда система отдаст более холод-
ной среде некоторое количество тепла, равное изменению внутренней энергии. Приведенные рассужде-
ния следуют из анализа формулы (1.6), т.е. из первого закона термодинамики.
Если совершить любой замкнутый процесс так, чтобы в итоге система, пройдя ряд промежуточных
состояний, вернулась бы к первоначальному, то изменение внутренней энергии за такой процесс будет
равно нулю, и интеграл от du будет равен нулю. Это доказывает, что du – полный дифференциал.
Рассмотрим теперь еще некоторые свойства внутренней энергии. Из первого закона термодинамики
следует, что u = f (s, v), ибо только в этом случае изменения s и v будут вызывать изменения u, как это
показывает формула (1.5). В противном случае и ds, и dv равны нулю и вместо (1.5) получается du = 0, и
это означало бы, что внутренняя энергия остается постоянной при наличии тепловых и механических
взаимодействий – явное противоречие с физической сутью явлений.
Запишем выражение полного дифференциала u как функции двух переменных
dv
v
u
ds
s
u
ududdu
sv
sv
∂
∂
+
∂
∂
=+=
(1.8)
и сопоставим формулы (1.5) и (1.8), отмечая, что левые части их одинаковы, значит одинаковы и их пра-
вые части. Из этом следует, что
,)/( Tsu
V
=
∂
∂
(1.9)
.)/( pvu
S
−
=
∂
∂
(1.10)
Мы обнаружили, что частная производная и по одному из параметров дает значение сходственного
параметра (пару потенциал-координата называют сходственными или сопряженными параметрами).
Продифференцируем формулы (1.9) и (1.10) и проведем простейшие преобразования, привлекая извест-
ные понятия о теплоемкостях и термических коэффициентах:
;
vV
V
V
V
V
V
c
T
qd
Td
T
sdT
TdT
s
T
s
u
===
∂
∂
=
∂
∂
2
2
00
0
2
2
111
1
1
vv
p
v
v
v
p
v
u
S
S
S
S
β
=
∂
∂
−
=
∂
∂
−=
∂
∂
,
где с
v
– удельная теплоемкость газа в процессах при v = const; v
0
– удельный объем газа при
нормальных условиях;
SS
pvv )/(/ ∂∂−=β
0
1 – коэффициент адиабатической сжимаемости. Выявилось еще
одно свойство внутренней энергии: вторые частные производные этой функции определяют значения
величин c
v
и β
S
.
Проведем теперь перекрестное дифференцирование формул (1.9) и (1.10), дифференцируя (1.9) по v,
а (1.10) – по s:
S
v
T
vs
u
∂
∂
=
∂∂
∂
2
,
v
s
p
sv
u
∂
∂
−=
∂∂
∂
2
.

Страницы