Теоретические основы теплотехники - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

где ради сокращения введены обозначения
2
x
a
A
i
∆
τ∆
=
;
+
∆
τ∆
−= 12
2
x
a
B
i
;
2
x
a
C
i
∆
τ
∆
= ;
kii
tD
,
−
=
.
В качестве примера по соотношению (2.43) выпишем систему уравнений для временного слоя при k
= 1 и n = 5, расставляя температуры с одинаковыми индексами друг под другом и дополняя уравнения
нулями
.,,,
;,,,
;,,,
,,,
:
:
:
;:
4154144134
3143133123
2132122112
1121111101
0004
0003
0002
0001
DtCtBtAi
DtCtBtAi
DtCtBtAi
DtCtBtAi
=+++++=
=+++++=
=+++++=
=+++++=
Отметим, что величины t
0,1
и t
5,1
известны из граничных условий, известны и значения D
1
, D
2
, D
3
, D
4
,
поскольку температуры
30201000,,,,
,,, tttt и t
0,4
известны из начальных условий. Слои с номерами i = 0 и i
= n неизвестных не содержат, поскольку эти температуры известны из граничных условий. В результате
убеждаемся, что записанные четыре уравнения содержат четыре неизвестных:
131211,,,
,, ttt и t
4,1
. Анало-
гичная трехдиагональная система может быть получена для любого значения n, а последовательное
решение таких систем для k = 1, 2, ... позволяет найти значения температур во всех узлах сетки. Дока-
зано, что неявная схема всегда устойчива и это позволяет делать расчеты с достаточно крупными шага-
ми ∆x и ∆τ.
Метод прогонки основан на допущении, что между соседними узлами температура меняется по ли-
нейному закону. Тогда для двух соседних (в пространстве) точек сетки можно записать
,
,, ikiiki
FtEt
+
=
+++ 111
(2.44)
где E
i
и F
i
– некоторые неизвестные пока константы (их называют прогоночными коэффициентами),
свои для каждого слоя с номером i. Для предыдущего по порядку слоя с номером i – 1 формула (2.44)
запишется в виде
1111 −+−+
+=
ikiiki
FtEt
,,
.
Подставим теперь это значение температуры в формулу (2.43)
ikiikiiiikii
DtCtBFAEA
=
+
+
+
+++−+− 111111,,,
)(
и сгруппируем подобные члены, переписав предыдущую формулу так:
11111 −++−+
−+−=+
iiikiiiiiki
FADtCEABt
,,
)(
.
Отсюда находим
1
1
111
1
−
−
+++
+
−
+
−+
=
iii
iii
ki
ii
i
ki
EAB
FAD
t
EiAB
C
t
,,
. (2.45)
Сопоставляя теперь формулы (2.44) и (2.45), видим, что прогоночные коэффициенты можно рассчи-
тать по рекуррентным формулам:
)/(
1−
+
=
iiiii
EABCE ;

Страницы