Теоретические основы теплотехники - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

ГУ справа:
)(
,
kft
kn
τ∆=
2
, k = 0, 1, 2, 3, ...;
НУ: )(
,
ixft
i
∆=
30
, i = 1, 2, …, n – 1.
Дифференциальное уравнение теплопроводности одномерного температурного поля при переходе от
бесконечно малых к малым конечным приращениям принимает вид
.
∆
∆
∆
∆
=
τ∆
∆
x
t
x
a
t
Здесь
x
tt
x
t
x
tt
x
t
tt
t
kikikikikiki
∆
−
=
∆
∆
∆
−
=
∆
∆
τ∆
−
=
τ∆
∆
+−+ ,,
пр
,,
лев
,,
;;
111
и далее
.
,,,
левпр
2
11
2
1
x
ttt
x
t
x
t
xx
t
x
kikiki
∆
+−
=
∆
∆
−
∆
∆
∆
=
∆
∆
∆
∆
−+
В результате алгебраический аналог дифференциального уравнения будет
.
,,,,,
2
111
2
x
ttt
a
tt
kikikikiki
∆
+−
=
τ∆
−
−++
Приведенная формула связывает между собой четыре соседние в пространстве температуры по
схеме, приведенной на рис. 2.32, которую называют расчетным шаблоном явной схемы. Если начинать
расчет с i = 1 и k = 0, то эта схема (или формула (2.41), соответственно) будет содержать только одну
неизвестную t
1,1
. Определив ее, шаблон сдвигают вправо на шаг и рассчитывают следующую темпера-
туру t
1,2
и т.д. В итоге последовательно определяются все температуры сначала первого временного
слоя (k = 1), затем второго (k = 2) и т.д. Недостатком явной схемы является необходимость определен-
ным образом ограничивать шаги ∆τ и ∆x, поскольку доказано, что решение бывает устойчивым только
при условии
.,)/(50
2
≤∆τ∆ xa
Конечно-разностный аналог можно построить и для другого расчетного шаблона (неявная схема),
приведенного на рис 2.33. В такой схеме используются значения температур в соседних точках, но не
для одного, а для соседних интервалов времени. Алгебраический аналог дифференциального уравнения
при этом принимает вид
.
,,,,,
2
111111
2
x
ttt
a
tt
kikikikiki
∆
+−
=
τ∆
−
+−++++
(2.42)
Отметим, что формула (2.42) по структуре идентична формуле (2.41), но правая часть ее рассчитана для
)(1+k
-го интервала времени. Для решения задачи формулу (2.42) записывают последовательно для всех
узлов сетки в результате чего получается замкнутая система алгебраических уравнений, которую реша-
ют обычно методом прогонки.
Чтобы понять суть и особенности этого метода, проведем сначала несложные преобразования, за-
писав формулу (2.42) в виде
)(
,,,,,11111
2
1
2
+−++++
+−
∆
τ
∆
=−
kikikikiki
ttt
x
a
tt
и сгруппировав подобные члены по возрастанию номера i:
ikiikiikii
DtCtBtA =++
++++− 11111,,,
, (2.43)

Страницы