Теоретические основы теплотехники - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

.
c
2
4
R
q
tC
v
λ
+=
Значит температурное поле внутри стержня описывается формулой
)(
cc
2222
444
rR
q
tR
q
tr
q
t
vvv
−
λ
+=
λ
++
λ
−= .
Величину t
c
найдем, записав теплобалансовое уравнение для наружной поверхности стержня,
Q
v
= Q
α
или πR
2
lq
v
= 2πRlα (t
c
– t
ж
),
откуда после сокращений выражаем
.
жc
α
+=
2
v
Rq
tt
Температура на оси цилиндра (при r = 0) будет наибольшей:
.
жco
α
+
λ
+=
λ
+=
244
2
2
RR
qt
Rq
tt
v
v
2.2.12 Численное решение задач стационарной теплопроводности
А
налитическое решение задач теплопроводности возможно лишь для тел простой геометрической формы
и при простейших граничных условиях. На практике же иногда возникает необходимость определить
температурное поле в телах более сложной формы или при таких условиях однозначности, когда темпе-
ратура или условия теплообмена на поверхности тела непостоянны, когда величина λ существенно и
нелинейно зависит от t, когда тело неоднородно и величина λ различна в разных точках тела и по раз-
ным направлениям.
Чтобы перейти к численным методам, исследуемое тело мысленно разделяют на небольшие объемы
простой формы (чаще всего прямоугольной). При этом считают, что в пределах каждого такого объема
свойства вещества, мощность внутренних источников и температура остаются постоянными, а измене-
ние температуры происходит скачками на границах каждого объема. Другими словами непрерывный
процесс теплопроводности заменяется некоторым дискретным процессом.
Центральные точки выделенных объемов (их называют узлами) образуют внутри тела пространст-
венную сетку. Для любого узла такой сетки на основе теплобалансовых уравнений или путем замены
дифференциального уравнения теплопроводности его конечно – разностным аналогом (от бесконечных
приращений переходят к малым конечным приращениям) можно получить алгебраические соотноше-
ния, в совокупности составляющие замкнутую систему уравнений, для решения которой используются
стандартные или специально разработанные методы. Изложенный подход называют методом конечных
разностей.
В качестве примера рассмотрим двумерное температурное поле, возникающее в однородной пла-
стине толщиной δ, когда температуры на боковых поверхностях ее различны (см. рис. 2.21). Разделим
пластину на элементарные прямоугольники, нанося сетку с шагом ∆x по оси x и ∆y по оси y. Выделим
узлы сетки вокруг одного из элементов, лежащего внутри пластины, обозначая их номера вдоль оси x
индексом i, а вдоль оси y – индексом j.
Температурное поле такой пластины будет плоским, и дифференциальное уравнение для него при-
нимает вид:
.0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
t
x
t
Производную
2
2
x
t
∂
∂
представим в виде
∂
∂
∂
∂
x
t
x
и заменим бесконечно малые приращения dt и dx малыми
конечными величинами ∆t и ∆x:

Страницы